模糊邏輯 - 傳統模糊邏輯複習

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邏輯學最初只是研究區分可靠論證與不可靠論證的方法，現在已經發展成為一個強大而嚴謹的體系，透過該體系，可以發現真命題，前提是已知其他命題為真。

謂詞邏輯

這種邏輯處理謂詞，謂詞是包含變數的命題。

謂詞是在某個特定域上定義的一個或多個變數的表示式。透過為變數賦值或對變數進行量化，可以將包含變數的謂詞變成命題。

以下是一些謂詞的例子：

• 令E(x, y)表示“x = y”
• 令X(a, b, c)表示“a + b + c = 0”
• 令M(x, y)表示“x與y結婚”

命題邏輯

命題是由宣告性語句組成的集合，這些語句具有真值“真”或真值“假”。命題由命題變數和連線片語成。命題變數用大寫字母（A、B等）表示。連線詞連線命題變數。

以下是一些命題的例子：

• “人是凡人”，返回真值“真”
• “12 + 9 = 3 – 2”，返回真值“假”

以下不是命題：

• “A小於2” - 因為除非我們給A一個特定的值，否則我們無法判斷該語句是真還是假。

連線詞

在命題邏輯中，我們使用以下五個連線詞：

• 或 (∨)
• 與 (∧)
• 否定/非 (¬)
• 蘊含/如果-那麼 (→)
• 當且僅當 (⇔)

或 (∨)

兩個命題A和B的或運算（寫成A∨B）如果命題變數A或B中至少有一個為真，則為真。

真值表如下：

與 (∧)

兩個命題A和B的與運算（寫成A∧B）如果命題變數A和B都為真，則為真。

真值表如下：

否定 (¬)

命題A的否定（寫成¬A）當A為真時為假，當A為假時為真。

真值表如下：

蘊含/如果-那麼 (→)

蘊含A→B是命題“如果A，那麼B”。如果A為真而B為假，則為假。其餘情況為真。

真值表如下：

當且僅當 (⇔)

A⇔B是雙條件邏輯連線詞，當p和q相同時為真，即兩者都為假或兩者都為真。

真值表如下：

良構公式

良構公式 (wff) 是滿足以下條件之一的謂詞：

• 所有命題常量和命題變數都是wff。
• 如果x是一個變數，而Y是一個wff，則∀xY和∃xY也是wff。
• 真值和假值是wff。
• 每個原子公式都是一個wff。
• 連線wff的所有連線詞都是wff。

量詞

謂詞的變數由量詞量化。謂詞邏輯中有兩種型別的量詞：

• 全稱量詞
• 存在量詞

全稱量詞

全稱量詞指出其範圍內的語句對於特定變數的每個值都為真。它用符號∀表示。

∀xP(x) 讀作對於x的每個值，P(x)都為真。

示例 - “人是凡人”可以轉換成命題形式∀xP(x)。這裡，P(x)是表示x為凡人的謂詞，論域是所有的人。

存在量詞

存在量詞指出其範圍內的語句對於特定變數的某些值都為真。它用符號∃表示。

∃xP(x) 讀作對於x的某些值，P(x)為真。

示例 - “有些人是不誠實的”可以轉換成命題形式∃x P(x)，其中P(x)是表示x不誠實的謂詞，論域是某些人。

巢狀量詞

如果我們使用出現在另一個量詞範圍內的量詞，則稱為巢狀量詞。

示例

• ∀a∃bP(x,y)，其中P(a,b)表示a+b = 0
• ∀a∀b∀cP(a,b,c)，其中P(a,b)表示a+(b+c) = (a+b)+c

注意 - ∀a∃bP(x,y) ≠ ∃a∀bP(x,y)