模糊邏輯 - 經典集合論

---

---

集合是不同元素的無序集合。它可以透過使用集合括號列出其元素來明確表示。如果元素的順序發生變化或集合的任何元素重複，則不會對集合進行任何更改。

示例

• 所有正整數的集合。
• 太陽系中所有行星的集合。
• 印度所有邦的集合。
• 字母表中所有小寫字母的集合。

集合的數學表示

集合可以用兩種方式表示：

列舉法或表格法

在這種形式中，集合透過列出構成它的所有元素來表示。元素用大括號括起來，並用逗號分隔。

以下是列舉法或表格法表示集合的示例：

• 英語字母表中母音的集合，A = {a,e,i,o,u}
• 小於 10 的奇數集合，B = {1,3,5,7,9}

集合構建器表示法

在這種形式中，集合是透過指定集合元素共有的屬性來定義的。集合描述為 A = {x:p(x)}

示例 1 - 集合 {a,e,i,o,u} 寫成

A = {x:x 是英語字母表中的母音}

示例 2 - 集合 {1,3,5,7,9} 寫成

B = {x:1 ≤ x < 10 且 (x%2) ≠ 0}

如果元素 x 是任何集合 S 的成員，則表示為 x∈S，如果元素 y 不是集合 S 的成員，則表示為 y∉S。

示例 - 如果 S = {1,1.2,1.7,2}，則 1 ∈ S 但 1.5 ∉ S

集合的基數

集合 S 的基數，表示為 |S|，是集合的元素個數。該數字也稱為基數。如果一個集合有無限多個元素，則其基數為 ∞。

示例 - |{1,4,3,5}| = 4，|{1,2,3,4,5,…}| = ∞

如果有兩個集合 X 和 Y，|X| = |Y| 表示兩個集合 X 和 Y 具有相同的基數。當 X 中的元素數量正好等於 Y 中的元素數量時發生這種情況。在這種情況下，存在從 X 到 Y 的雙射函式“f”。

|X| ≤ |Y| 表示集合 X 的基數小於或等於集合 Y 的基數。當 X 中的元素數量小於或等於 Y 中的元素數量時發生這種情況。在這裡，存在從 X 到 Y 的單射函式“f”。

|X| < |Y| 表示集合 X 的基數小於集合 Y 的基數。當 X 中的元素數量小於 Y 中的元素數量時發生這種情況。在這裡，從 X 到 Y 的函式“f”是單射函式但不是雙射函式。

如果 |X| ≤ |Y| 和 |X| ≤ |Y| 則 |X| = |Y|。集合 X 和 Y 通常稱為等價集合。

集合的型別

集合可以分為多種型別；其中一些是有限的、無限的、子集的、全集的、真子集的、單元素集的等等。

有限集

包含確定數量元素的集合稱為有限集。

示例 - S = {x|x ∈ N 且 70 > x > 50}

無限集

包含無限多個元素的集合稱為無限集。

示例 - S = {x|x ∈ N 且 x > 10}

子集

如果集合 X 的每個元素都是集合 Y 的元素，則集合 X 是集合 Y 的子集（寫成 X ⊆ Y）。

示例 1 - 令 X = {1,2,3,4,5,6} 且 Y = {1,2}。這裡集合 Y 是集合 X 的子集，因為集合 Y 的所有元素都在集合 X 中。因此，我們可以寫成 Y⊆X。

示例 2 - 令 X = {1,2,3} 且 Y = {1,2,3}。這裡集合 Y 是集合 X 的子集（不是真子集），因為集合 Y 的所有元素都在集合 X 中。因此，我們可以寫成 Y⊆X。

真子集

術語“真子集”可以定義為“子集但不等”。如果集合 X 的每個元素都是集合 Y 的元素且 |X| < |Y|，則集合 X 是集合 Y 的真子集（寫成 X ⊂ Y）。

示例 - 令 X = {1,2,3,4,5,6} 且 Y = {1,2}。這裡集合 Y ⊂ X，因為 Y 中的所有元素都包含在 X 中，並且 X 至少有一個元素比集合 Y 多。

全集

它是特定上下文或應用程式中所有元素的集合。該上下文或應用程式中的所有集合本質上都是這個全集的子集。全集表示為 U。

示例 - 我們可以將 U 定義為地球上所有動物的集合。在這種情況下，所有哺乳動物的集合是 U 的子集，所有魚類的集合是 U 的子集，所有昆蟲的集合是 U 的子集，等等。

空集或零集

空集不包含任何元素。它用 Φ 表示。由於空集中的元素數量是有限的，因此空集是有限集。空集或零集的基數為零。

示例 – S = {x|x ∈ N 且 7 < x < 8} = Φ

單元素集或單元集

單元素集或單元集僅包含一個元素。單元素集表示為 {s}。

示例 - S = {x|x ∈ N，7 < x < 9} = {8}

相等集

如果兩個集合包含相同的元素，則稱它們相等。

示例 - 如果 A = {1,2,6} 且 B = {6,1,2}，則它們相等，因為集合 A 的每個元素都是集合 B 的元素，並且集合 B 的每個元素都是集合 A 的元素。

等價集

如果兩個集合的基數相同，則稱為等價集合。

示例 - 如果 A = {1,2,6} 且 B = {16,17,22}，則它們是等價的，因為 A 的基數等於 B 的基數。即 |A| = |B| = 3

重疊集

至少有一個共同元素的兩個集合稱為重疊集。在重疊集的情況下 -

$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A \right ) + n\left ( B \right ) - n\left ( A\cap B \right )$$

$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A-B \right )+n\left ( B-A \right )+n\left ( A\cap B \right )$$

$$n\left ( A \right ) = n\left ( A-B \right )+n\left ( A\cap B \right )$$

$$n\left ( B \right ) = n\left ( B-A \right )+n\left ( A\cap B \right )$$

示例 - 令 A = {1,2,6} 且 B = {6,12,42}。有一個共同元素“6”，因此這些集合是重疊集。

不相交集

如果兩個集合 A 和 B 沒有任何共同元素，則稱為不相交集。因此，不相交集具有以下性質 -

$$n\left ( A\cap B \right ) = \phi$$

$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A \right )+n\left ( B \right )$$

示例 - 令 A = {1,2,6} 且 B = {7,9,14}，沒有一個共同元素，因此這些集合是重疊集。

經典集合上的運算

集合運算包括集合並、集合交、集合差、集合補和笛卡爾積。

並集

集合 A 和 B 的並集（用 A ∪ B 表示）是 A 中、B 中或 A 和 B 中的元素的集合。因此，A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}。

示例 - 如果 A = {10,11,12,13} 且 B = {13,14,15}，則 A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - 公共元素僅出現一次。

交集

集合 A 和 B 的交集（用 A ∩ B 表示）是 A 和 B 中的元素的集合。因此，A ∩ B = {x|x ∈ A 且 x ∈ B}。

差集/相對補集

集合 A 和 B 的差集（用 A–B 表示）是僅在 A 中而不是在 B 中的元素的集合。因此，A − B = {x|x ∈ A 且 x ∉ B}。

示例 - 如果 A = {10,11,12,13} 且 B = {13,14,15}，則 (A − B) = {10,11,12} 且 (B − A) = {14,15}。在這裡，我們可以看到 (A − B) ≠ (B − A)

集合的補集

集合 A 的補集（用 A′ 表示）是不在集合 A 中的元素的集合。因此，A′ = {x|x ∉ A}。

更具體地說，A′ = (U−A)，其中 U 是包含所有物件的全集。

示例 - 如果 A = {x|x 屬於奇整數集合}，則 A′ = {y|y 不屬於奇整數集合}

笛卡爾積/叉積

n 個集合 A1、A2、…An 的笛卡爾積表示為 A1 × A2...× An，可以定義為所有可能的序偶 (x1,x2,…xn)，其中 x1 ∈ A1、x2 ∈ A2、…xn ∈ An

示例 - 如果我們取兩個集合 A = {a,b} 和 B = {1,2}，

A 和 B 的笛卡爾積寫成 - A × B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}

並且，B 和 A 的笛卡爾積寫成 - B × A = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

經典集合的性質

集合的性質在獲得解方面起著重要作用。以下是經典集合的不同性質 -

交換律

有兩個集合A和B，此屬性指出 -

$$A \cup B = B \cup A$$

$$A \cap B = B \cap A$$

結合律

有三個集合A、B和C，此屬性指出 -

$$A\cup \left ( B\cup C \right ) = \left ( A\cup B \right )\cup C$$

$$A\cap \left ( B\cap C \right ) = \left ( A\cap B \right )\cap C$$

分配律

有三個集合A、B和C，此屬性指出 -

$$A\cup \left ( B\cap C \right ) = \left ( A\cup B \right )\cap \left ( A\cup C \right )$$

$$A\cap \left ( B\cup C \right ) = \left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap C \right )$$

冪等律（Idempotency Property）

對於任意集合A，該性質陳述如下：

$$A\cup A = A$$

$$A\cap A = A$$

恆等律（Identity Property）

對於集合A和全集X，該性質陳述如下：

$$A\cup \varphi = A$$

$$A\cap X = A$$

$$A\cap \varphi = \varphi$$

$$A\cup X = X$$

傳遞律（Transitive Property）

對於三個集合A、B和C，該性質陳述如下：

如果 $A\subseteq B\subseteq C$，則 $A\subseteq C$

對合律（Involution Property）

對於任意集合A，該性質陳述如下：

$$\overline{{\overline{A}}} = A$$

德摩根定律（De Morgan’s Law）

這是一個非常重要的定律，有助於證明重言式和矛盾。該定律陳述如下：

$$\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

$$\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$