對於哪些值 \( \lambda \)，線性方程組 \( \lambda x+y=\lambda^{2} \) 和 \( x+\lambda y=1 \) 有唯一解？

已知：

給定的方程組為

$λx + y = λ^2$ 和 $x + λy = 1$

要求：

我們必須找到 $λ$ 的值，使得給定的方程組有唯一解。

解

給定的方程組可以寫成

$λx + y -λ^2=0$

$x + λy -1=0$

兩個變數方程組的標準形式為 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

上述方程組有唯一解的條件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ ≠ \frac{b_{1}}{b_{2}} \ $

將給定的方程組與方程的標準形式進行比較，我們有，

$a_1=λ, b_1=1, c_1=-λ^2$ 和 $a_2=1, b_2=λ, c_2=-1$

因此，

$\frac{λ}{1}≠ \frac{1}{λ}$

$λ≠ \frac{1}{λ}$

$λ \times λ≠ 1$

$λ^2≠ 1$

$λ≠ 1$ 或 $λ≠ -1$

因此，使給定方程組有唯一解的 $λ$ 的值為“除 $-1$ 和 $1$ 之外的所有實數”。 

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更新於： 2022-10-10

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