求方程組\( \frac{x}{10}+\frac{y}{5}-1=0 \)和\( \frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15 \)的解。然後，如果\( y=\lambda x+5 \)，求\( \lambda \)的值。

已知

給定的方程組為 $\frac{x}{10}+\frac{y}{5}-1=0$ 和 $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15$，以及 $y = \lambda x + 5$。

要求

我們必須解這個方程組並求出 $\lambda$ 的值。

解答

給定的方程組可以寫成：

$\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=1$

$\Rightarrow \frac{1(x)+2(y)}{10}=1$

$\Rightarrow x+2y=1(10)$   (交叉相乘)

$\Rightarrow x+2y=10$---(i)

$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15$

$\Rightarrow \frac{3(x)+4(y)}{24}=15$   (8 和 6 的最小公倍數是 24)

$\Rightarrow 3x+4y=15(24)$   (交叉相乘)

$\Rightarrow 3x=360-4y$

$\Rightarrow x=\frac{360-4y}{3}$----(ii)

將 $x=\frac{360-4y}{3}$ 代入方程 (i)，得到：

$\frac{360-4y}{3}+2y=10$ 

兩邊乘以 $3$，得到：

$3(\frac{360-4y}{3})+3(2y)=3(10)$

$360-4y+6y=30$

$2y=30-360$

$2y=-330$

$y=\frac{-330}{2}$

$y=-165$

將 $y=-165$ 的值代入方程 (ii)，得到：

$x=\frac{360-4(-165)}{3}$

$x=\frac{360+660}{3}$

$x=\frac{1020}{3}$

$x=340$

$y = \lambda x + 5$   (已知)

$-165=\lambda (340)+5$

$340\lambda=-165-5$

$\lambda=\frac{-170}{340}$

$\lambda=\frac{-1}{2}$

因此，給定方程組的解為 $x=340$，$y=-165$，$\lambda$ 的值為 $\frac{-1}{2}$。  

教程點

更新於: 2022年10月10日

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