求方程組$\frac{x}{10}+\frac{y}{5}-1=0$和$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15$的解。已知$y = λx + 5$，求$λ$的值。

已知

已知方程組為$\frac{x}{10}+\frac{y}{5}-1=0$和$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15$，且$y = λx + 5$。

解題步驟

我們需要求解給定的方程組並求出$λ$的值。

解答

給定的方程組可以寫成：

$\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=1$

$\Rightarrow \frac{x+2y}{10}=1$

$\Rightarrow x+2y=10$ (交叉相乘)

$\Rightarrow x+2y=10$---(i)

$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=15$

$\Rightarrow \frac{3x+4y}{24}=15$ (8和6的最小公倍數是24)

$\Rightarrow 3x+4y=360$ (交叉相乘)

$\Rightarrow 3x=360-4y$

$\Rightarrow x=\frac{360-4y}{3}$----(ii)

將$x=\frac{360-4y}{3}$代入方程(i)，得到：

$\frac{360-4y}{3}+2y=10$

兩邊乘以3，得到：

$3(\frac{360-4y}{3})+3(2y)=3(10)$

$360-4y+6y=30$

$2y=30-360$

$2y=-330$

$y=\frac{-330}{2}$

$y=-165$

將$y=-165$代入方程(ii)，得到：

$x=\frac{360-4(-165)}{3}$

$x=\frac{360+660}{3}$

$x=\frac{1020}{3}$

$x=340$

$y = λx + 5$ (已知)

$-165=λ(340)+5$

$340λ=-170$

$λ=\frac{-170}{340}$

$λ=\frac{-1}{2}$

因此，給定方程組的解為$x=340$，$y=-165$，$λ$的值為$\frac{-1}{2}$。

更新於：2022年10月10日

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