以下一對線性方程組是否相容？請說明你的答案。
\( \frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6} \)
已知
給定的方程組為：
\( \frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6} \)
求解
我們需要判斷給定的這對線性方程組是否相容。
解答
我們知道：
線性方程組相容的條件是：
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$ [對於唯一解]
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ [對於無限多個解]
\( \frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2} \)
$10(\frac{3}{5}x)-10(y)=10(\frac{1}{2})$
$6x-10y-5=0$
\( \frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6} \)
$30(\frac{1}{5}x)-30(3y)=30(\frac{1}{6})$
$6x-90y-5=0$
這裡，
$a_1=6, b_1=-10, c_1=-5$
$a_2=6, b_2=-90, c_2=-5$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{1}=1$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-10}{-90}=\frac{1}{9}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-5}=1$
這裡，
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
因此，給定的這對線性方程組有唯一解，因此是相容的。
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