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法律研究以下一對線性方程組是否有解？請說明理由。
\( 2 x+4 y=3 \)
\( 12 y+6 x=6 \)
為了找到
我們必須確定給定的方程組是否有解。
解決方案
我們知道，
無解的條件是
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$
(i) \( 2 x+4 y-3=0 \)
\( 12 y+6 x-6=0 \)
這裡，
$a_1=2, b_1=4, c_1=-3$
$a_2=6, b_2=12, c_2=-6$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$
這裡，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$
因此，給定的線性方程組無解。
(ii) \( x-2 y=0 \)
\( 2 x-y=0 \)
這裡，
$a_1=1, b_1=-2, c_1=0$
$a_2=2, b_2=-1, c_2=0$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-1}=2$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$
這裡，
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
因此，給定的線性方程組有唯一解。
(iii) \( 3 x+y-3=0 \)
\( 3(2 x)+3(\frac{2}{3} y)=3(2) \)
$6x+2y-6=0$
這裡，
$a_1=3, b_1=1, c_1=-3$
$a_2=6, b_2=2, c_2=-6$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$
這裡，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
因此，給定的線性方程組表示重合直線。
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