求解下列每個二次方程的k值，使得它們有兩個相等的根。
(i) $2x^2 + kx + 3 = 0$
(ii) $kx (x - 2) + 6 = 0$

解題步驟

我們需要找到使給定二次方程具有相等根的k值。

解答

(i) $2x^2 + kx + 3 = 0$

將給定的二次方程與二次方程的標準形式$ax^2+bx+c=0$進行比較，我們得到：

$a=2, b=k$ 和 $c=3$。

標準形式二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式為$D=b^2-4ac$。

$D=(k)^2-4(2)(3)$

$D=k^2-24$

如果$D=0$，則給定的二次方程具有相等的根。

因此，

$k^2-24=0$

$k^2-(\sqrt{24})^2=0$

$(k+\sqrt{24})(k-\sqrt{24})=0$

$k+2\sqrt6=0$ 或 $k-2\sqrt6=0$

$k=-2\sqrt6$ 或 $k=2\sqrt6$

k的值為$-2\sqrt6$ 和 $2\sqrt6$。

(ii) $kx (x - 2) + 6 = 0$

$kx^2-2kx+6=0$

將給定的二次方程與二次方程的標準形式$ax^2+bx+c=0$進行比較，我們得到：

$a=k, b=-2k$ 和 $c=6$。

標準形式二次方程$ax^2+bx+c=0$的判別式為$D=b^2-4ac$。

$D=(-2k)^2-4(k)(6)$

$D=4k^2-24k$

如果$D=0$，則給定的二次方程具有相等的根。

因此，

$4k^2-24k=0$

$4k(k-6)=0$

$4k=0$ 或 $k-6=0$

$k=6$ 或 $k=0$ (k=0的情況不成立).

k的值為6。

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更新於：2022年10月10日

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