求下列二次方程的根的性質。如果存在實根，求出它們
(i) $2x^2 -3x + 5 = 0$
(ii) $3x^2 - 4\sqrt3x + 4 = 0$
(iii) $2x^2-6x + 3 = 0$

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待辦事項

我們需要求出給定二次方程的根的性質並求出它們。

解答

(i) 將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：

$a=2, b=-3$ 和 $c=5$。

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為 $D=b^2-4ac$。

因此，

$D=(-3)^2-4(2)(5)=9-40=-31$。

由於 $D<0$，給定的二次方程沒有實根。

(ii) 將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：

$a=3, b=-4\sqrt3$ 和 $c=4$。

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為 $D=b^2-4ac$。

因此，

$D=(-4\sqrt3)^2-4(3)(4)=16(3)-12(4)$

$=48-48$

$=0$

由於 $D=0$，給定的二次方程有兩個相等的實根。

 $x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$=\frac{-(-4 \sqrt{3}) \pm 0}{2 \times 3}$

$=\frac{4 \sqrt{3}}{6}$

因此，給定二次方程的根為 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

(iii) 將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：

$a=2, b=-6$ 和 $c=3$。

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為 $D=b^2-4ac$。

因此，

$D=(-6)^2-4(2)(3)=36-24=12>0$。

由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不相等的實根。

 $x=\frac{-b \pm \sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$

$=\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2 \times 2}$

$=\frac{6 \pm \sqrt{4 \times 3}}{2 \times 2}$

$=\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

$=\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{4}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$

因此，給定二次方程的根為 $\frac{3+\sqrt{3}}{2}, \frac{3-\sqrt{3}}{2}$。