方程 $3x^{4} + 6x^{3} + x^{2} + 6x + 3 = 0$ 有多少個實根？

已知

給定方程為 $f(x)$ = $3x^{4} + 6x^{3} + x^{2} + 6x + 3 = 0$

求解

我們需要求出給定方程的實根個數。

解答

根據笛卡爾符號規則，

多項式函式 f(x) 的正實根個數與係數符號變化次數相同或少於該次數的偶數。

f(x) 的負實根個數與 f(-x) 的項的係數符號變化次數相同或少於該次數的偶數。

在 f(x) 中，沒有符號變化。

$f(-x) = 3(-x)^{4}+6(-x)^{3}+(-x)^{2}+6(-x)+3 = 0$

      $ = 3x^{4} - 6x^{3} + x^{2} - 6x + 3 = 0$

在 $f(-x)$ 中，有四個符號變化。這意味著，存在 4 個或 2 個實根。

比較 $f(x)$ 和 $f(-x)$，有兩個符號變化。

因此，給定方程有兩個實根。

教程點

更新於: 2022-10-10

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