證明$(x + 4), (x - 3)$和$(x - 7)$是$x^3 - 6x^2 - 19x + 84$的因式。

已知

給定的多項式是$x^3 - 6x^2 - 19x + 84$。

要求

我們必須證明$(x + 4), (x - 3)$和$(x - 7)$是$x^3 - 6x^2 - 19x + 84$的因式。

解答

我們知道，如果$g(x)$是$f(x)$的因式，則餘數將為零。

要檢查$(x + 4), (x - 3)$和$(x - 7)$是否為$x^3 - 6x^2 - 19x + 84$的因式，我們必須分別在$x^3 - 6x^2 - 19x + 84$中代入$x=-4, x=3$和$x=7$。

令$f(x) = x^3 - 6x^2 - 19x + 84$

$f(-4) = (-4)^3-6(-4)^2 -19(-4)+84$

$= -64-96+76+84$

$=160-160$

$=0$

$f(3)=(3)^3-6(3)^2 -19(3)+84$

$= 27-6(9)-57+84$

$=111-111$

$=0$

$f(7) = (7)^3-6(7)^2 -19(7)+84$

$= 343-294-133+84$

$=427-427$

$=0$

這意味著，$(x+4), (x-3)$和$(x-7)$是$x^3 - 6x^2 - 19x + 84$的因式。

證畢。 

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更新於: 2022年10月10日

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