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法律因式分解表示式$(ax+by)^2+(bx-ay)^2$。
已知
給定的代數表示式為 $(ax+by)^2+(bx-ay)^2$。
要求
我們需要因式分解表示式$(ax+by)^2+(bx-ay)^2$。
解答
代數表示式的因式分解
因式分解一個代數表示式意味著將該表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
這裡，我們可以透過分組相似項並提取公因子來因式分解表示式$(ax+by)^2+(bx-ay)^2$。
我們可以將 $(ax+by)^2+(bx-ay)^2$ 寫成：
$(ax+by)^2+(bx-ay)^2=(ax)^2+2(ax)(by)+(by)^2+(bx)^2-2(bx)(ay)+(ay)^2$ [因為 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$ 和 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$]
$(ax+by)^2+(bx-ay)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2+b^2x^2-2abxy+a^2y^2$
$(ax+by)^2+(bx-ay)^2=a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2$
給定表示式中的項為 $a^2x^2, b^2y^2, b^2x^2$ 和 $a^2y^2$。
我們可以將給定的項分組為 $a^2x^2, b^2x^2$ 和 $b^2y^2, a^2y^2$。
因此，在 $a^2x^2, b^2x^2$ 中提取公因子 $x^2$，在 $b^2y^2, a^2y^2$ 中提取公因子 $y^2$，得到：
$a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2=x^2(a^2+b^2)+y^2(a^2+b^2)$
現在，提取公因子 $(a^2+b^2)$，得到：
$a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2=(x^2+y^2)(a^2+b^2)$
因此，給定表示式可以因式分解為 $(x^2+y^2)(a^2+b^2)$。
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