分解表示式 $75a^3b^2-108ab^4$。

已知

給定表示式為 $75a^3b^2-108ab^4$。

待做

我們需要對錶達式 $75a^3b^2-108ab^4$ 進行因式分解。

解

代數表示式的因式分解

代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解與展開相反。 

當一個代數表示式被寫成質因數乘積時，就稱為完全因式分解。

$75a^3b^2-108ab^4$ 可以寫成：

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2(25a^2-36b^2)$           (提取公因式 $3ab^2$)

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2[(5a)^2-(6b)^2]$             [由於 $25=5^2, 36=6^2$]

這裡，我們可以觀察到給定的表示式是兩個平方差。因此，我們可以使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 對給定的表示式進行因式分解。 

因此，

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2[(5a)^2-(6b)^2]$

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2(5a+6b)(5a-6b)$

因此，給定的表示式可以因式分解為 $3ab^2(5a+6b)(5a-6b)$。

更新於: 2023-04-08

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