運算子與公理

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群論是數學和抽象代數的一個分支，它定義了一種名為群的代數結構。通常，一個群包含一組元素和一個在該集合上任意兩個元素的操作，以形成該集合中的第三個元素。

1854年，英國數學家亞瑟·凱萊首次給出了群的現代定義：

“一組符號，它們彼此不同，並且任意兩個符號的乘積（無論順序如何），或任何一個符號自身的乘積，都屬於該集合，則稱該集合為一個群。這些符號通常不可交換[交換律]，但滿足結合律。”

在本章中，我們將瞭解構成集合論、群論和布林代數基礎的運算子和公理。

數學系統中的任何一組元素都可以用一組運算子和一些公理來定義。

在元素集合上定義的二元運算子是一個規則，它為每一對元素分配該集合中的唯一元素。例如，給定集合$ A = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \rbrace $，如果它指定了一個用於根據$(a,b)$對查詢c的規則，使得$a,b,c \in A$，那麼我們可以說$\otimes$是運算$c = a \otimes b$的二元運算子。

數學系統的公理構成可以從中推匯出規則的基本假設。公理包括：

封閉性

如果對於集合中每一對元素，運算子都能找到該集合中的唯一元素，則該集合關於二元運算子是封閉的。

示例

設$A = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$

該集合在二元運算乘法$(\ast)$下是封閉的，因為對於運算$c = a \ast b$，對於任何$a, b \in A$，乘積$c \in A$。

該集合在二元運算除法$(\div)$下不是封閉的，因為對於運算$c = a \div b$，對於任何$a, b \in A$，乘積c可能不在集合A中。如果$a = 7, b = 2$，則$c = 3.5$。這裡$a,b \in A$但$c \notin A$。

結合律

集合A上的二元運算子$\otimes$在滿足以下性質時是結合的：

$(x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)$，其中$x, y, z \in A $

示例

設$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$

加法運算子$( + )$是結合的，因為對於任何三個元素$x,y,z \in A$，性質$(x + y) + z = x + ( y + z )$成立。

減法運算子$( - )$不是結合的，因為

$$( x - y ) - z \ne x - ( y - z )$$

交換律

集合A上的二元運算子$\otimes$在滿足以下性質時是交換的：

$x \otimes y = y \otimes x$，其中$x, y \in A$

示例

設$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$

加法運算子$( + )$是交換的，因為對於任何兩個元素$x,y \in A$，性質$x + y = y + x$成立。

減法運算子$( - )$不是結合的，因為

$$x - y \ne y - x$$

分配律

集合A上的兩個二元運算子$\otimes$和$\circledast$在滿足以下性質時，$\otimes$對$\circledast$具有分配律：

$x \otimes (y \circledast z) = (x \otimes y) \circledast (x \otimes z)$，其中$x, y, z \in A $

示例

設$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$

乘法運算子$( * )$和加法運算子$( + )$對加法運算子$+$具有分配律，因為對於任何三個元素$x,y,z \in A$，性質$x * ( y + z ) = ( x * y ) + ( x * z )$成立。

然而，這兩個運算子對乘法運算子$*$不具有分配律，因為

$$x + ( y * z ) \ne ( x + y ) * ( x + z )$$

單位元

如果集合A關於A上的二元運算$\otimes$存在一個單位元，則存在一個元素$e \in A$，使得以下性質成立：

$e \otimes x = x \otimes e$，其中$x \in A$

示例

設$Z = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$

元素1是關於運算$*$的單位元，因為對於任何元素$x \in Z$，

$$1 * x = x * 1$$

另一方面，減法運算$( - )$沒有單位元。

逆元

如果集合A關於二元運算子$\otimes$有一個單位元$e$，那麼當對於每個元素$x \in A$，都存在另一個元素$y \in A$，使得以下性質成立時，它就具有逆元：

$$x \otimes y = e$$

示例

設$A = \lbrace \dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$

給定加法運算$( + )$和$e = 0$，任何元素x的逆元是$(-x)$，因為$x + ( -x ) = 0$

德摩根定律

德摩根定律給出了用集合的補集表示兩個（或多個）集合的並集和交集之間的一對變換。這些定律是：

$$(A \cup B)' = A' \cap B'$$

$$(A \cap B)' = A' \cup B'$$

示例

設$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace ,B = \lbrace 1, 3, 5, 7 \rbrace$，以及

全集$U = \lbrace 1, 2, 3, \dots, 9, 10 \rbrace$

$A' = \lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$

$B' = \lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \rbrace$

$A \cup B = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \rbrace$

$A \cap B = \lbrace 1, 3 \rbrace $

$(A \cup B)' = \lbrace 6, 8, 9, 10 \rbrace$

$A' \cap B' = \lbrace 6, 8, 9, 10 \rbrace$

因此，我們看到$(A \cup B)' = A' \cap B'$

$(A \cap B)' = \lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$

$A' \cup B' = \lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$

因此，我們看到$(A \cap B)' = A' \cup B'$