數學歸納法

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數學歸納法是一種用於證明結果或建立自然數陳述的技術。本部分透過各種示例說明該方法。

定義

數學歸納法是一種數學技術，用於證明某個陳述、公式或定理對每個自然數都成立。

該技術涉及兩個步驟來證明一個陳述，如下所示：

步驟1（基礎步驟）- 它證明該陳述對於初始值成立。

步驟2（歸納步驟）- 它證明如果該陳述對於第n次迭代（或數字n）成立，則它也對於第(n+1)次迭代（或數字n+1）成立。

操作方法

步驟1 - 考慮一個陳述成立的初始值。需要證明該陳述對於n = 初始值成立。

步驟2 - 假設該陳述對於任何n = k的值都成立。然後證明該陳述對於n = k+1也成立。我們實際上將n = k+1分成兩部分，一部分是n = k（這已經證明），並嘗試證明另一部分。

問題1

$3^n-1$是2的倍數，其中n = 1, 2, ...

解答

步驟1 - 對於$n = 1, 3^1-1 = 3-1 = 2$，它是2的倍數

步驟2 - 讓我們假設$3^n-1$對於$n=k$成立，因此，$3^k -1$成立（這是一個假設）

我們必須證明$3^{k+1}-1$也是2的倍數

$3^{k+1} - 1 = 3 \times 3^k - 1 = (2 \times 3^k) + (3^k - 1)$

第一部分$(2 \times 3^k)$必然是2的倍數，第二部分$(3^k -1)$根據我們之前的假設也成立。

因此，$3^{k+1} – 1$是2的倍數。

所以，證明了$3^n – 1$是2的倍數。

問題2

$1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2$，其中$n = 1, 2, \dots $

解答

步驟1 - 對於$n=1, 1 = 1^2$，因此，步驟1成立。

步驟2 - 讓我們假設該陳述對於$n=k$成立。

因此，$1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2$成立（這是一個假設）

我們必須證明$1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)-1) = (k+1)^2$也成立

$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1) - 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \dots + (2k+2 - 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \dots + (2k + 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2k + 1)$

$= k^2 + (2k + 1)$

$= (k + 1)^2$

所以，$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2$成立，滿足步驟2。

因此，證明了$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$。

問題3

證明$(ab)^n = a^nb^n$對每個自然數$n$都成立

解答

步驟1 - 對於$n=1, (ab)^1 = a^1b^1 = ab$，因此，步驟1成立。

步驟2 - 讓我們假設該陳述對於$n=k$成立，因此，$(ab)^k = a^kb^k$成立（這是一個假設）。

我們必須證明$(ab)^{k+1} = a^{k+1}b^{k+1}$也成立

已知，$(ab)^k = a^k b^k$

或者， $(ab)^k (ab) = (a^k b^k ) (ab)$ [兩邊乘以'ab']

或者， $(ab)^{k+1} = (aa^k) ( bb^k)$

或者， $(ab)^{k+1} = (a^{k+1}b^{k+1})$

因此，步驟2得到證明。

所以，$(ab)^n = a^nb^n$對每個自然數n都成立。

強歸納法

強歸納法是數學歸納法的另一種形式。透過這種歸納技術，我們可以使用以下步驟證明命題函式$P(n)$對所有正整數$n$都成立：

• 步驟1（基礎步驟）- 它證明初始命題$P(1)$成立。

• 步驟2（歸納步驟）- 它證明條件語句$[P(1) \land P(2) \land P(3) \land \dots \land P(k)] → P(k + 1)$對正整數$k$成立。