離散數學 - 機率

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與計數概念密切相關的是機率。我們經常嘗試猜測機會遊戲的結局，例如紙牌遊戲、老虎機和彩票；即我們試圖找到獲得特定結果的可能性或機率。

機率可以被概念化為尋找事件發生的機率。從數學上講，它是對隨機過程及其結果的研究。機率定律在遺傳學、天氣預報、民意調查、股票市場等各種領域都有廣泛的應用。

基本概念

機率論是由兩位 17 世紀的法國數學家布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬發明的，他們當時正在處理有關機會的數學問題。

在深入瞭解機率細節之前，讓我們先了解一些定義的概念。

隨機實驗 - 在其中所有可能的結果都是已知的並且無法提前預測確切輸出的實驗稱為隨機實驗。拋擲一枚公平硬幣就是一個隨機實驗的例子。

樣本空間 - 當我們進行實驗時，所有可能結果的集合 S 稱為樣本空間。如果我們拋擲一枚硬幣，則樣本空間 $S = \left \{ H, T \right \}$

事件 - 樣本空間的任何子集都稱為事件。拋擲硬幣後，正面朝上是一個事件。

“機率”一詞表示特定事件發生的機率。我們所能做的最好的就是利用機率的概念來表達它們發生的可能性。

$事件發生機率 = \frac{有利結果總數}{結果總數}$

由於任何事件發生的機率在 0% 到 100% 之間變化，因此機率在 0 到 1 之間變化。

尋找機率的步驟

步驟 1 - 計算實驗的所有可能結果。

步驟 2 - 計算實驗的有利結果數。

步驟 3 - 應用相應的機率公式。

拋擲硬幣

如果拋擲一枚硬幣，則有兩種可能的結果 - 正面 $(H)$ 或反面 $(T)$

因此，結果總數 = 2

因此，正面 $(H)$ 朝上的機率為 1/2，反面 $(T)$ 朝上的機率為 1/2

擲骰子

當擲骰子時，六種可能的結果可以出現在上面 - $1, 2, 3, 4, 5, 6$。

任何一個數字出現的機率都是 1/6

出現偶數的機率為 3/6 = 1/2

出現奇數的機率為 3/6 = 1/2

從一副牌中抽取卡片

從一副 52 張牌中，如果抽取一張牌，求抽到 A 的機率，以及求抽到方塊的機率。

可能結果總數 - 52

是 A 的結果 - 4

是 A 的機率 = 4/52 = 1/13

是方塊的機率 = 13/52 = 1/4

機率公理

• 事件的機率始終在 0 到 1 之間變化。$[0 \leq P(x) \leq 1]$

• 對於不可能發生的事件，機率為 0，對於必然發生的事件，機率為 1。

• 如果一個事件的發生不受另一個事件的影響，則它們被稱為互斥或不相交。

  如果 $A_1, A_2....A_n$ 是互斥/不相交事件，則 $P(A_i \cap A_j) = \emptyset $ 對於 $i \ne j$ 且 $P(A_1 \cup A_2 \cup.... A_n) = P(A_1) + P(A_2)+..... P(A_n)$

機率性質

• 如果存在兩個互補事件 $x$ 和 $\overline{x}$，則互補事件的機率為 -

  $$p(\overline{x}) = 1-p(x)$$

• 對於兩個非不相交事件 A 和 B，兩個事件並集的機率 -

  $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• 如果事件 A 是另一個事件 B 的子集（即 $A \subset B$），則 A 的機率小於或等於 B 的機率。因此，$A \subset B$ 意味著 $P(A) \leq p(B)$

條件機率

事件 B 的條件機率是在事件 A 已經發生的情況下事件發生的機率。這寫成 $P(B|A)$。

數學上 - $ P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A)$

如果事件 A 和 B 是互斥的，則事件 A 之後事件 B 的條件機率將是事件 B 的機率，即 $P(B)$。

問題 1

在一個國家，所有青少年中有 50% 擁有腳踏車，所有青少年中有 30% 擁有腳踏車和腳踏車。如果一個青少年擁有腳踏車，那麼該青少年擁有腳踏車的機率是多少？

解決方法

假設 A 是青少年僅擁有腳踏車的事件，B 是青少年僅擁有腳踏車的事件。

因此，根據給定的問題，$P(A) = 50/100 = 0.5$ 且 $P(A \cap B) = 30/100 = 0.3$。

$P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A) = 0.3/ 0.5 = 0.6$

因此，如果一個青少年擁有腳踏車，那麼該青少年擁有腳踏車的機率為 60%。

問題 2

在一個班級中，所有學生中有 50% 打板球，所有學生中有 25% 打板球和排球。如果一個學生打板球，那麼該學生打排球的機率是多少？

解決方法

假設 A 是學生僅打板球的事件，B 是學生僅打排球的事件。

因此，根據給定的問題，$P(A) = 50/100 =0.5$ 且 $P(A \cap B) = 25/ 100 =0.25$。

$P\lgroup B\rvert A \rgroup= P\lgroup A\cap B\rgroup/P\lgroup A \rgroup =0.25/0.5=0.5$

因此，如果一個學生打板球，那麼該學生打排球的機率為 50%。

問題 3

六臺好的筆記型電腦和三臺有缺陷的筆記型電腦混合在一起。為了找到有缺陷的筆記型電腦，所有筆記型電腦都以隨機的方式逐一進行測試。在第一次挑選的前兩次中找到兩臺有缺陷的筆記型電腦的機率是多少？

解決方法

設 A 是我們在第一次測試中找到有缺陷的筆記型電腦的事件，B 是我們在第二次測試中找到有缺陷的筆記型電腦的事件。

因此，$P(A \cap B) = P(A)P(B|A) =3/9 \times 2/8 = 1/12$

貝葉斯定理

定理 - 如果 A 和 B 是兩個互斥事件，其中 $P(A)$ 是 A 的機率，$P(B)$ 是 B 的機率，$P(A | B)$ 是給定 B 為真的情況下 A 的機率。$P(B | A)$ 是給定 A 為真的情況下 B 的機率，則貝葉斯定理指出 -

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{\sum_{i = 1}^{n}P(B|Ai)P(Ai)}$$

貝葉斯定理的應用

• 在樣本空間的所有事件都是互斥事件的情況下。

• 在每個 $A_i$ 的 $P( A_i \cap B )$ 已知或每個 $A_i$ 的 $P( A_i )$ 和 $P(B|A_i)$ 已知的情況下。

問題

考慮三個筆筒。第一個筆筒包含 2 支紅筆和 3 支藍筆；第二個包含 3 支紅筆和 2 支藍筆；第三個包含 4 支紅筆和 1 支藍筆。每個筆筒被選中的機率相等。如果隨機抽取一支筆，那麼它是紅筆的機率是多少？

解決方法

設 $A_i$ 是第 i 個筆筒被選中的事件。

這裡，i = 1,2,3。

由於選擇筆筒的機率相等，因此 $P(A_i) = 1/3$

設 B 是抽到紅筆的事件。

從第一個筆筒的五支筆中選擇一支紅筆的機率，

$P(B|A_1) = 2/5$

從第二個筆筒的五支筆中選擇一支紅筆的機率，

$P(B|A_2) = 3/5$

從第三個筆筒的五支筆中選擇一支紅筆的機率，

$P(B|A_3) = 4/5$

根據貝葉斯定理，

$P(B) = P(A_1).P(B|A_1) + P(A_2).P(B|A_2) + P(A_3).P(B|A_3)$

$= 1/3 . 2/5\: +\: 1/3 . 3/5\: +\: 1/3 . 4/5$

$= 3/5$