採用圖解法，判斷下列方程組是否相容。如果相容，則求解。
\( 3 x+y+4=0 \)
\( 6 x-2 y+4=0 \)

解題步驟

我們需要判斷給定的線性方程組是否相容/不相容。如果相容，則用圖形法求解。

解答

(i) $3x+y+4=0$.........(i)

$6x-2y+4=0$.........(ii)

這裡，

$a_{1}=3, b_{1}=1, c_{1}=4$

$a_{2}=6, b_{2}=-2, c_{2}=4$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}$

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{4}{4}$

$=1$

$\frac{a_{1}}{a_{2}} ≠ \frac{b_{1}}{b_{2}}$

這意味著，

給定的方程組相容。

對於方程 (i)，

$y=-4-3x$

在座標系上繪製點 $( 0,\ -4)$ 和 $(-1,\ -1)$，並連線它們得到方程 $3x+y+4=0$ 的影像。

$3x+y+4=0$

對於方程 (ii)，

$2y=6x+4$

$y=3x+2$

在座標系上繪製點 $(-1,\ -1)$ 和 $( 0,\ 2)$，並連線它們得到方程 $6x-2y+4=0$ 的影像。

$x=-1,\ y=-1$ 是給定方程組的解。因此，該方程組相容。

(ii) $x-2y-6=0$.........(i)

$3x-6y=0$.........(ii)

這裡，

$a_{1}=1, b_{1}=-2, c_{1}=-6$

$a_{2}=3, b_{2}=-6, c_{2}=0$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}$

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-6}$

$=\frac{1}{3}$

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{0}$

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}≠\frac{c_{1}}{c_{2}}$

這意味著，

由給定方程表示的直線平行。

因此，給定的方程組不相容。

(iii) $x+y-3=0$.........(i)

$3x+3y-9=0$.........(ii)

這裡，

$a_{1}=1, b_{1}=1, c_{1}=-3$

$a_{2}=3, b_{2}=3, c_{2}=-9$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}$

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{3}$

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-3}{-9}$

$=\frac{1}{3}$

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_1}{c_2}$

這意味著，

給定的方程組是重合的，因此是相容的。

對於方程 (i)，

$y=3-x$

在座標系上繪製點 $( 0,\ 3)$ 和 $(3,\ 0)$，並連線它們得到方程 $x+y=3$ 的影像。

對於方程 (ii)，

$3y=9-3x$

$y=3-x$

在座標系上繪製點 $(0,\ 3)$ 和 $(3,\ 0)$，並連線它們得到方程 $3x+3y=9$ 的影像。

由於直線重合，所以有無窮多個解。

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更新於：2022年10月10日

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