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法律研究求出以下兩元一次方程組中 \( p \) 的值
\( 3 x-y-5=0 \) 和 \( 6 x-2 y-p=0 \),
如果這些方程所表示的直線平行。
操作
根據給定的兩元一次方程組，求出 \( p \) 和 \( q \) 的值。
解決方案
(i) 將給定的兩元一次方程組與標準形式的線性方程組 \(a_1x+b_1y+c_1=0\) 和 \(a_2x+b_2y+c_2=0\) 進行比較，可得：
$a_1=3, b_1=-1$ 且 $c_1=-5$
$a_2=6, b_2=-2$ 且 $c_2=-p$
如果直線相互平行，則方程組無解。
此處，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-p}$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{c_1}{c_2}$
$\frac{1}{2}≠\frac{5}{p}$
$p≠5\times2$
$p≠10$
因此，\( p \) 的值可為除 \(10\) 之外的所有實數值。
(ii) 將給定的兩元一次方程組與標準形式的線性方程組 \(a_1x+b_1y+c_1=0\) 和 \(a_2x+b_2y+c_2=0\) 進行比較，可得：
$a_1=-1, b_1=p$ 並且 $c_1=-1$
$a_2=p, b_2=-1$ 並且 $c_2=-1$
如果直線相互平行，則方程組無解。
此處，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{-1}{p}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{p}{-1}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-1}=1$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$
$\frac{-1}{p}=-p$
$-p^2=-1$
$p^2=1$
$p=\sqrt1$
$p=\pm 1$
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{c_1}{c_2}$
$\frac{-1}{p}≠1$
$p≠-1$
這暗示，
$p=1$
因此，$p$ 的值為 1。
(iii) 將給定的線性方程組與線性方程的標準形式 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 進行比較，我們得到，
$a_1=-3, b_1=5$ 並且 $c_1=-7$
$a_2=2p, b_2=-3$ 並且 $c_2=-1$
如果一個方程組滿足以下條件，那麼它有一個唯一的解，
$\frac{a_1}{a_2}≠ \frac{b_1}{b_2}$
此處，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{-3}{2p}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
$\frac{-3}{2p}≠\frac{-5}{3}$
$-3(3)≠-5\times2p$
$-9≠-10p$
$p≠\frac{9}{10}$
因此，$p$ 的值是除了 $\frac{9}{10}$ 之外的所有實數。
(iv) 將給定的線性方程組與線性方程的標準形式 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 進行比較，我們得到，
$a_1=2, b_1=3$ 並且 $c_1=-5$
$a_2=p, b_2=-6$ 並且 $c_2=-8$
如果一個方程組滿足以下條件，那麼它有一個唯一的解，
$\frac{a_1}{a_2}≠ \frac{b_1}{b_2}$
此處，
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{p}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$
因此，
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
$\frac{2}{p}≠\frac{-1}{2}$
$2(2)≠-1\times p$
$4≠-p$
$p≠-4$
因此，$p$ 的值是除了 $-4$ 之外的所有實數。
(v) 給定的方程組可寫成
$2x + 3y -7=0$
$2px +(p+q)y -28=0$
包含兩個變數的方程組的標準形式為 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。
上述方程組具有無窮多解的條件是
$\frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
將給定的方程組與方程的標準形式進行比較，我們有，
$a_1=2, b_1=3, c_1=-7$ 並且 $a_2=2p, b_2=p+q, c_2=-28$
因此，
$\frac{2}{2p}=\frac{3}{p+q}=\frac{-7}{-28}$
$\frac{1}{p}=\frac{1}{4}$
$p=4$
$\frac{3}{p+q}=\frac{1}{4}$
$4\times 3=1(p+q)$
$p+q=12$
$4+q=12$
$q=12-4=8$
給定的方程組具有無窮多解時，$p$ 和 $q$ 的值分別為 $4$ 和 $8$。
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