用圖形方法解下列方程組
\( 2 x+y=6 \)
\( 2 x-y+2=0 \)
求由表示這些方程的直線與x軸和y軸形成的兩個三角形面積的比值。

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 已知

給定的方程為

$2x+y=6$

$2x-y+2=0$

要求

我們需要解這個方程組，並求由表示這些方程的直線與x軸和y軸形成的兩個三角形面積的比值。

解答

為了用圖形表示上述方程，我們需要每個方程至少兩個解。

對於方程 $2x+y-6=0$，

$y=6-2x$

如果 $x=0$，則 $y=6-2(0)=6-0=6$

如果 $x=3$，則 $y=6-2(3)=6-6=0$

$x$	$0$	$3$
$y$	$6$	$0$

對於方程 $2x-y+2=0$，

$y=2x+2$

如果 $x=0$，則 $y=2(0)+2=2$

如果 $x=-1$，則 $y=2(-1)+2=-2+2=0$

$x$	$0$	$-1$
$y$	$2$	$0$

y軸的方程為 $x=0$。

x軸的方程為 $y=0$。

上述情況可以用圖形表示如下

直線 AB、CD、BD 和 AC 分別表示方程 $2x+y=6$、$2x-y+2=0$、x軸和y軸。

直線 AB、CD 和 x軸兩兩相交的點是與x軸形成的三角形的頂點。

因此，與x軸形成的三角形的頂點是 $(1,4), (-1,0)$ 和 $(3,0)$. 

我們知道，

三角形的面積$=\frac{1}{2}bh$

在圖中，三角形的高是點 E 到 BD 的距離。

三角形的高$=4$ 個單位。

三角形的底$=$點 B 和 D 之間的距離。

三角形的底$=1+3=4$ 個單位。

由給定直線和x軸形成的三角形的面積$=\frac{1}{2}\times4\times4$

$=8$ 平方單位。

 直線 AB、CD 和 y軸兩兩相交的點是與y軸形成的三角形的頂點。

因此，與y軸形成的三角形的頂點是 $(0,6), (0,2)$ 和 $(1,4)$. 

我們知道，

三角形的面積$=\frac{1}{2}bh$

在圖中，三角形的高是點 E 到 AC 的距離。

三角形的高$=1$ 個單位。

三角形的底$=$點 A 和 C 之間的距離。

三角形的底$=6-2=4$ 個單位。

由給定直線和y軸形成的三角形的面積$=\frac{1}{2}\times1\times4$

$=2$ 平方單位。

由表示這些方程的直線與x軸和y軸形成的兩個三角形面積的比值為 $8:2=4:1$。