以下哪些線性方程組是相容/不相容的？如果是相容的，請用圖形方法求解
(i) $x + y = 5, 2x + 2y = 10$
(ii) $x – y = 8, 3x – 3y = 16$
(iii) $2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0$
(iv) $2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0$。

待辦事項

我們必須找出給定的線性方程組是相容還是不相容，並用圖形方法求解。

解答

(i) $x+y-5=0$

$2x+2y-10=0$

$x+y=5\ \  ...( i)$

$2x+2y=10\ \ ...( ii)$

對於方程 $( i)$， 

$x+y=5$

$\Rightarrow y=5-x$

在圖上畫出點 $( 0,\ 5)$ 和 $( 5,\ 0)$，並連線它們得到方程 

$x+y=5$

對於方程 $( ii)$， 

$2x+2y=10$

$\Rightarrow y=\frac{10-2x}{2}$

在圖上畫出點 $( 5,\ 0)$ 和 $( 0,\ 5)$，並連線它們得到方程 $2x+2y=0$

從上圖可以看出，兩條直線重合。

因此，方程組有無限多個解。

這裡，$a_1=1,\ b_1=-1,\ c_1=8$ 和 $a_2=3,\ b_2=-3,\ c_2=16$。

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$

這裡，我們發現 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$

因此，給定的線性方程組無解。

因此，給定的線性方程組不相容。

(iii) $2x+y-6=0$

$4x-2y-4=0$

$2x+y=6\ \  ...( i)$

$4x-2y=4\ \ ...( ii)$

對於方程 $( i)$， 

$2x+y=6$

$\Rightarrow y=6-2x$

x	1	0
y	0	-2

在圖上畫出點 $( 1,\ 0)$ 和 $( 0,\ -2)$，並連線它們得到方程 $4x-2y=0$

$x=2,\ y=2$ 是給定方程組的解。所以解是相容的。

(iv) 給定方程：$2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0$。

這裡，$a_1=2,\ b_1=-2,\ c_1=-2$ 和 $a_2=4,\ b_2=-4,\ c_2=-5$。

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

這裡，我們發現 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$

因此，給定的線性方程組無解。

因此，給定的線性方程組不相容。

教程點

更新於： 2022-10-10

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