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法律研究透過比較係數並找出以下各對線性方程組是相容的還是不相容的。
(i) $3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7$
(ii) $2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9$
(iii) $\frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y = 7; 9x – 10y = 14$
(iv) $5x-3y = 11; -10x + 6y = -22$
(v) $\frac{4x}{3} + 2y = 8; 2x + 3y = 12$.
待辦事項
我們必須找出給定的線性方程組是相容的還是不相容的。
解答
(i) 給定的方程為：$3x + 2y=5;\ 2x – 3y=7$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{5}{7}$
這裡我們發現，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
因此，這些線性方程組僅在一個點上相交，並且它們只有一個可能的解。
因此，這對線性方程組是相容的。
(ii) 給定的方程為：$2x-3y=8;\ 4x-6y=9$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{9}$
這裡我們發現，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$
因此，這些線性方程組彼此平行，因此沒有可能的解。
因此，這對線性方程組是不相容的。
(iii) 給定的方程為：$\frac{3x}{2}+\frac{5y}{3}=7;\ 9x-10y=14$.
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{3}{2}}{9}=\frac{1}{6}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{\frac{5}{3}}{-10}=-\frac{1}{6}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$
這裡我們發現，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
因此，這些線性方程組僅在一個點上相交，並且它們只有一個可能的解。
因此，這對線性方程組是相容的。
(iv) 給定的方程為：$5x-3y=11;\ -10x+6y=-22$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{-10}=-\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{-22}=-\frac{1}{2}$
這裡我們發現，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
因此，這些線性方程組是重合的直線對，因此有無限多個可能的解。
因此，給定的線性方程組是相容的。
(v) 給定的方程為：$\frac{4x}{3}+2y=8;\ 2x+3y=12$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
這裡我們發現，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
因此，這些線性方程組是重合的直線對，因此有無限多個可能的解。
因此，這對線性方程組是相容的。
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