拉普拉斯變換 拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$公式 (1) 給出了函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但是對於因果訊號，… 閱讀更多

拉普拉斯變換 拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt }}$$拉普拉斯變換的時間反轉特性陳述——拉普拉斯變換的時間反轉特性指出，如果一個訊號在時間上關於原點垂直軸反轉…… 閱讀更多

拉普拉斯變換 拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\; \; \cdot \cdot \cdot\left ( \mathrm{1} \right ) }}$$公式 (1) 給出了函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但是對於因果訊號，單邊… 閱讀更多

反Z變換 反Z變換定義為從其Z變換$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$中找到時域訊號$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$的過程。反Z變換表示為：$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }Z^{-\mathrm{1}}\left [ X\left ( z \right ) \right ]}}$$由於Z變換定義為：$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$其中，z 是一個復變數，由下式給出：$$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\, }r\, e^{j\, \omega }}}$$其中，r 是… 閱讀更多

拉普拉斯變換 拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$使用拉普拉斯變換求解微分方程 線性時不變 (LTI) 系統由常係數微分方程描述，這些方程將系統的輸入和輸出聯絡起來。LTI 系統的響應是透過求解這些微分方程獲得的。拉普拉斯變換技術可用於求解描述… 閱讀更多

Z變換 Z變換是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，離散時間訊號或序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z變換定義為：$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$Z變換的性質 下表重點介紹了Z變換的一些重要性質：性質 時域 z域 收斂域 (ROC) 符號$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$線性與疊加$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}\:\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}}$時間平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$\mathrm{\mathit{z}^{-\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathrm{與}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}}$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathit{k}}\right)}}$$\mathrm{\mathit{z}^{\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathrm{與}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\infty}}$z域縮放$\mathrm{\mathit{a}^{\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}\right )}}$$\mathrm{\left|\mathit{a}\right|\mathit{R}_{\mathrm{1}}閱讀更多

拉普拉斯變換 拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，時域函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的拉普拉斯變換定義為：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\mathrm{\infty} }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$其中，s 是一個復變數，由下式給出：$$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$$運算子 L 稱為拉普拉斯變換運算子，它將域函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 轉換為頻域函式 X(s)。拉普拉斯變換的性質 下表重點介紹了拉普拉斯變換的一些重要性質：性質 函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 拉普拉斯變換 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ 符號$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$標量乘法$\mathrm{\mathit{k}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{k}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$線性$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{s }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$時間平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}}$$\mathrm{\mathit{e}^{- ... 閱讀更多

離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 (DTFT) 是一種將離散時間序列轉換為頻域的數學工具。因此，離散時間訊號或序列的傅立葉變換稱為離散時間傅立葉變換 (DTFT)。數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間序列，則該序列的離散時間傅立葉變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}}$$離散時間傅立葉變換的性質下表列出了離散時間傅立葉變換的重要性質：性質離散時間序列DTFT符號$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$線性$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$時間位移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$\mathrm{\mathit{e}^{\mathit{-j\omega k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$頻率位移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega} _{\mathrm{0}}\mathit{n}}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega -\omega _{\mathrm{0}}}\right)}}$時間反轉$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}}$頻率微分$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$時間卷積$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:*\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$頻率…閱讀更多

反Z變換反Z變換定義為從其Z變換$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$中找到時域訊號$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的過程。反Z變換表示為 −$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}}$$利用部分分式展開法求反Z變換為了利用部分分式展開法確定$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的反Z變換，$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的分母必須採用因式分解的形式。在這種方法中，我們得到$\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$而不是$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的部分分式展開。這是因為時域序列的Z變換在其分子中具有Z。只有當$\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$是真有理函式時，才適用部分分式展開法，即階數…閱讀更多

平均功率訊號的平均功率定義為訊號（如單位電阻上的電壓或電流）在一個週期內耗散的平均功率。數學上，平均功率由下式給出：$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$帕塞瓦爾功率定理陳述 − 帕塞瓦爾功率定理指出，訊號的功率等於離散頻譜中存在的各種諧波分量的幅度平方的和。數學上，帕塞瓦爾功率定理定義為 −$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty |\mathit{C}_\mathit{n}|^2$$證明考慮一個函式$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$。那麼，訊號$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$在一個完整週期內的平均功率由下式給出：$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$ $$\because|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathrm{=}\: ... 閱讀更多