Z 變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一個離散時間訊號或序列，則其雙邊或雙側 Z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$其中，z 是一個復變數。此外，單邊或單側 z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, ... 閱讀更多

Z 變換Z 變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一個離散時間訊號或序列，則其雙邊或雙側 Z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$其中，z 是一個復變數。此外，單邊或單側 z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, ... 閱讀更多

什麼是 Z 變換？Z 變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。Z 變換是線性移不變 (LSI) 系統分析中非常有用的工具。LSI 離散時間系統由差分方程表示。為了求解這些時域中的差分方程，首先使用 Z 變換將其轉換為 z 域中的代數方程，然後在 z 域中對代數方程進行操作，並將獲得的結果使用反 Z 變換轉換回時域。Z 變換可以是… 閱讀更多

具有有限數量樣本的序列稱為有限持續時間序列。有限持續時間序列可以有以下三種類型：−右手序列左手序列雙邊序列右手序列對於 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ = 0 且 $\mathit{n}$ < $\mathit{n_{\mathrm{0}}}$ 的序列，其中 $\mathit{n_{\mathrm{0}}}$ 可以是正數或負數，但必須是有限的，稱為右手序列。如果 $\mathit{n_{\mathrm{0}}}$ ≥ 0，則得到的序列是因果序列。因果序列的 ROC 是整個 z 平面，除了 𝑧 = 0。數值示例 (1)求因果序列的 ROC 和 Z 變換。$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}\mathrm{\, =\, ... 閱讀更多

傅立葉變換傅立葉變換是一種變換技術，用於將訊號從連續時間域轉換為相應的頻域。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個連續時間域函式，則其傅立葉變換由下式給出：$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega t}}\:\mathit{dt}} \:\:\:\:\:\:...(1)}$$拉普拉斯變換拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個時域函式，則其拉普拉斯變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$其中，s 是一個復變數，由下式給出：$$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$$關係… 閱讀更多

Z 變換Z 變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間訊號或序列，則其雙邊或雙側 Z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$其中，z 是一個復變數。此外，單邊或單側 z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=\mathrm{0} }}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$拉普拉斯變換拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個時域函式，則其拉普拉斯變換定義為… 閱讀更多

拉普拉斯變換拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個時域函式，則其拉普拉斯變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$公式 (1) 給出了函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但是對於因果訊號，應用單邊拉普拉斯變換，其定義為：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$拉普拉斯變換的時移特性陳述 - 拉普拉斯變換的時移特性指出，時域中 t0 的位移對應於乘以… 閱讀更多

拉普拉斯變換拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個時域函式，則其拉普拉斯變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$公式 (1) 給出了函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但是對於因果訊號，應用單邊拉普拉斯變換，其定義為 −$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$拉普拉斯變換的時標特性陳述 - 拉普拉斯變換的時標特性指出，如果：$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$然後$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left|\mathit{a}\right|}\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right )}}$$證明從拉普拉斯變換的定義，我們有：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty ... 閱讀更多

拉普拉斯變換拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 s 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個時域函式，則其拉普拉斯變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$時域積分拉普拉斯變換的性質陳述 - 拉普拉斯變換的時域積分性質指出，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$然後$$\mathrm{\int_{-\infty}^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\mathit{d\tau}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}\:\mathrm{+}\:\int_{-\infty}^{\mathrm{0}}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}}{\mathit{s}}\:\mathit{d\tau}}$$證明考慮一個函式 $\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 為， $$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\:\mathit{d\tau}}$$對兩邊關於時間求導，我們有， $$\mathrm{\frac{\mathit{d\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}}{\mathit{dt}}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$還， $$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\:\mathit{d\tau}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$對公式 (2) 進行拉普拉斯變換，得到， $$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \frac{\mathit{d\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}}{\mathit{dt}}\right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left [ \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} ... 閱讀更多

Z 變換Z 變換是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為頻域中的代數方程。數學上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一個離散時間序列，則其 Z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$其中，z 是一個復變數。公式 (1) 中定義的 Z 變換稱為雙邊或雙側 Z 變換。單邊或單側 Z 變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( ... 閱讀更多