Z 變換Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為， $$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$卷積法求反Z變換反Z 變換可以使用卷積定理計算。在卷積積分法中，給定的 Z 變換 X(z) 首先被分成 $\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 和 $\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$，使得 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$。然後透過分別對 $\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 和 $\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 進行反Z變換得到訊號 $\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 和 $\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$。最後，透過對…進行卷積得到函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 閱讀更多

離散時間傅立葉逆變換 (IDTFT) 定義為從其頻率響應 X(ω) 中找到離散時間序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的過程。數學上，離散時間傅立葉逆變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\: \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega n}}\:\mathit{d\omega}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$方程 (1) 對 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的解對於分析目的很有用，但對於函式 X(ω) 的典型函式形式來說，它的計算非常困難。因此，確定離散時間序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 值的另一種方法直接來自傅立葉變換的定義，即 $$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{n=-\infty }^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}\:\mathrm{=}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-3}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{3}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-2}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{2}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}2\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}3\omega}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$因此，從 X(ω) 的方程我們可以說，如果 X(ω) 可以表示為… 閱讀更多

Z 變換Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為， $$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$Z 變換的終值定理Z 變換的終值定理使我們能夠直接從其 Z 變換中計算序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的穩態值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}$，而無需找到其反Z變換。陳述 - 如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個因果序列，則 Z 變換的終值定理指出，如果， $$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$並且如果 Z 變換 X(z) 在…之外沒有極點 閱讀更多

Z 變換Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為， $$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$Z 變換的初值定理初值定理使我們能夠直接從其 Z 變換 X(z) 中計算訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的初始值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$，而無需找到 X(z) 的反Z變換。陳述 - Z 變換的初值定理指出，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$其中，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個因果序列。那麼， $$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$證明從定義… 閱讀更多

離散時間傅立葉變換可以使用離散時間傅立葉變換在頻域中表示離散時間訊號。因此，離散時間序列的傅立葉變換稱為離散時間傅立葉變換 (DTFT)。數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間序列，則其離散時間傅立葉變換定義為 −$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$離散時間序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的離散時間傅立葉變換 X(ω) 表示序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的頻率內容。因此，透過對離散時間序列進行傅立葉變換，該序列被分解成其頻率成分。出於這個原因，DTFT X(ω) 也稱為訊號頻譜。離散時間傅立葉變換存在的條件… 閱讀更多

離散時間傅立葉變換離散時間序列的傅立葉變換稱為離散時間傅立葉變換 (DTFT)。數學上，離散時間序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的離散時間傅立葉變換 (DTFT) 定義為 −$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$離散時間傅立葉變換的時移特性陳述 - 離散時間傅立葉變換的時移特性指出，如果訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 在時域中移動 k，則其 DTFT 乘以 $\mathit{e^{-j\omega k }}$。因此，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$那麼$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{e^{-j\omega k }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$其中，k 是一個整數。證明根據離散時間傅立葉變換的定義，我們有， $$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$$$\mathrm{\therefore\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$將 $\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{m}$ 然後 $\mathit{n}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\mathit{m\mathrm{+}k}\right)}$ 代入上述求和中，我們得到，… 閱讀更多

Z變換Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。在數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間函式，則其Z變換定義為：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$z域微分性質Z變換的z域微分性質指出，時間域中乘以n對應於z域中的微分。此性質也稱為Z變換的乘以n性質。因此，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}}$$則根據z域微分性質，$$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{-z}\frac{\mathit{d}}{\mathit{dz}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}}$$證明根據Z變換的定義，我們有：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$對上述公式進行微分... 閱讀更多

離散時間傅立葉變換離散時間序列的傅立葉變換稱為離散時間傅立葉變換（DTFT）。在數學上，離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的離散時間傅立葉變換（DTFT）定義為：$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$DTFT的頻域微分性質說明 - 離散時間傅立葉變換的頻域微分性質指出，離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$乘以n等效於其離散時間傅立葉變換在頻域中的微分。因此，如果，$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$則$$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$證明根據DTFT的定義，我們有：$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$對兩邊關於ω求導，得到：$$\mathrm{\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}} ... 閱讀更多

Z變換Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。在數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間函式，則其Z變換定義為：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$Z變換的相關性性質說明 - Z變換的相關性性質指出，如果，$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$則$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$$其中$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{12}}\mathrm{\left ( \mathit{n} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$證明根據Z變換的定義，我們有：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$$$\mathrm{\mathit{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\mathit{z}^{-n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$兩個訊號的相關性定義為：$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$因此，根據公式(1)和(2)，我們得到：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}$$重新排列求和順序，得到：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{z}^{-n} ... 閱讀更多

Z變換Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。在數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間函式，則其Z變換定義為：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$時間域卷積性質Z變換的時間域卷積性質指出，兩個離散時間序列卷積的Z變換等於它們各自Z變換的乘積。因此，如果，$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{1}}$$$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{2}}$$則根據卷積性質，$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap\mathit{R}_{\mathrm{2}} }$$證明兩個序列的卷積定義為：$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$現在，根據Z變換的定義，我們有：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} ... 閱讀更多