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法律研究一個身高 1.5 米的男孩站在距離一棟 30 米高的建築物一定距離的地方。當他向建築物走去時，他眼睛到建築物頂部的仰角從 30° 增加到 60°。求他向建築物走去的距離。
已知
一個 \( 1.5 \mathrm{~m} \) 高的男孩站在距離一個 \( 30 \mathrm{~m} \) 高的建築物一定距離的地方。
當他向建築物走去時，他眼睛到建築物頂部的仰角從 \( 30^{\circ} \) 增加到 \( 60^{\circ} \)。
要求
我們必須找到他向建築物走去的距離。
解：
設 $AB$ 為男孩的身高，$CD$ 為建築物的高度。
從圖中可知，
$\mathrm{AB}=\mathrm{OP}=\mathrm{DE}=1.5 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CAE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{COE}=60^{\circ}$
設他向建築物走去的距離為 $\mathrm{AO}=x \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{CE}=30-1.5=28.5 \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CE }}{OE}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{28.5}{OE}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{28.5}{OE}$
$\Rightarrow OE=\frac{28.5}{\sqrt3} \mathrm{~m}$.........(i)
同樣地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { CE }}{AE}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{28.5}{x+OE}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{28.5}{x+OE}$
$\Rightarrow x+OE=28.5\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=28.5\sqrt3-\frac{28.5}{\sqrt3} \mathrm{~m}$ [從 (i)]
$\Rightarrow x=\frac{28.5\sqrt3(\sqrt3)-28.5}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{28.5(3-1)}{\sqrt3}\times \frac{\sqrt3}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{28.5(2)\times\sqrt3}{3} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=9.5(2)\sqrt3=19\sqrt3 \mathrm{~m}$
因此，他向建築物走去的距離是 $19\sqrt3 \mathrm{~m}$.
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