四邊形 $ABCD$ 的對角線在點 $O$ 處相交，使得 $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$。證明 $ABCD$ 是梯形。

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已知

四邊形 $ABCD$ 的對角線在點 $O$ 處相交，使得 $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$。

要求

我們必須證明 $ABCD$ 是梯形。

解答

過點 $O$ 作 $EF \| AB$

$\frac{AO}{BO}=\frac{OC}{OD}$

這意味著，

$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$........(i)

在 $\triangle BAD$ 中，$EO \| AB$

這意味著，根據基本比例定理，

$\frac{DE}{EA}=\frac{DO}{BO}$

$\frac{AE}{ED}=\frac{BO}{DO}$...........(ii)

由 (i) 和 (ii)，我們得到，

$\frac{AO}{CO}=\frac{AE}{ED}$

這意味著，根據基本比例定理的逆定理，

$OE \| CD$

$AB \| OE$

這意味著，

$AB \| CD$

因此，

$ABCD$ 是梯形

證畢。