證明如果四邊形的對角線互相垂直平分，則它是菱形。

已知

四邊形的對角線互相垂直平分。

需要做

我們需要證明它是一個菱形。

解答：

設四邊形 $ABCD$ 的對角線互相垂直平分。

所以，

$OA=OC, OB=OD$

$\angle AOB = \angle BOC =\angle COD =\angle AOD = 90^o$

為了證明它是一個菱形，我們需要證明 $ABCD$ 是一個平行四邊形，並且 $AB = BC = CD = AD$

在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle BOC$ 中，

$OA=OC$         (已知)

$OB=OB$         (公共邊)

$\angle AOB= \angle BOC$ ($90^o$)

因此，根據 SAS 全等，我們得到，

$\triangle AOB \cong \triangle BOC$

所以，$AB=BC$           (全等三角形對應邊相等)

類似地，

$\triangle AOB \cong \triangle AOD$

所以，$AB=AD$

$\triangle COD \cong \triangle BOC$

所以，$CD=BC$

因此，

$AB=BC=CD=AD$

我們可以說，

$AB=CD$ 和 $BC=AD$

由於對邊相等，$ABCD$ 是一個平行四邊形。

我們知道，對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形。

因此，$ABCD$ 是一個四邊相等且對角線互相垂直平分的平行四邊形。

所以，$ABCD$ 是一個菱形。

證畢。

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更新於: 2022年10月10日

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