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法律研究證明正方形的對角線相等，並且互相垂直平分。
待辦事項
我們需要證明正方形的對角線相等，並且互相垂直平分。
解答：
設 $ABCD$ 為一個正方形，其中對角線 $AC$ 和 $BD$ 在 $O$ 點相交。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BAD$ 中，
$AB=AB$ (公共邊)
$BC=AD$ (正方形的所有邊都相等)
$\angle ABC= \angle BAD=90^o$
因此，根據 SAS 全等，我們得到，
$\triangle ABC \cong \triangle BAD$
所以，$AC=BD$ (全等三角形對應邊相等)
對角線相等。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 中，
$\angle BAO = \angle DCO$ (內錯角相等)
$\angle AOB = \angle COD$ (對頂角相等)
$AB = CD$
因此，根據 AAS 全等，我們得到，
$\triangle AOB \cong \triangle COD$
所以，
$AO = CO$ (全等三角形對應邊相等)
這意味著，
對角線互相平分。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COB$ 中，
$OB = OB$ (公共邊)
$AO = CO$ (對角線互相平分)
$AB = BC$ (正方形的邊相等)
因此，根據 SSS 全等，我們得到，
$\triangle AOB \cong \triangle COB$
這意味著，
$\angle AOB = \angle COB$
$\angle AOB+\angle COB = 180^o$ (鄰補角)
這意味著，
$\angle AOB+\angle AOB =180^o$
$\angle AOB=\frac{180^o}{2}$
$\angle AOB=90^o$
$\angle COB =\angle AOB= 90^o$
對角線相等，並且互相垂直平分。
因此，
正方形的對角線相等，並且互相垂直平分。
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