最大公因數（HCF）的質因數分解和除法方法

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簡介

質因數分解和最大公因數（HCF）是算術中的兩個基本概念。因數分解包括將一個整數分解成幾個相等的部分。它們被廣泛用於兌換貨幣、比較價格、進行算術計算、最佳化資源等。在本教程中，我們將學習關於 HCF、查詢 HCF 的方法、質因數分解以及帶解題示例的重複除法公式。

因數

因數定義為當它除以一個數時，餘數結果為零的整數。換句話說，如果兩個整數的乘積得到第三個數，則這兩個整數被稱為結果數的因數。例如，12 可以分解如下。

$$\mathrm{1\times\:12\:=\:12}$$

$$\mathrm{12\times\:1\:=\:12}$$

$$\mathrm{3\times\:4\:=\:12}$$

$$\mathrm{2\times\:6\:=\:12}$$

因此，12 的因數是 1、2、3、4、6 和 12。

有兩種方法用於查詢數字的因數。

• 乘法方法

• 除法方法

HCF

兩個或多個數字的最大公因數 (HCF) 定義為這兩個數字的最大因數。換句話說，它被定義為完全除以這些數字的最大整數。它也稱為最大公約數 (GCD)。例如，考慮兩個數字 10 和 15。

10 的因數是 1、2、5 和 10。

15 的因數是 1、3、5 和 15。

在這些因數中，1 和 5 是上述數字的公因數。但是，5 是最大公約數或因數。因此，10 和 15 的 HCF 為 5。

查詢 HCF 的方法

數學中使用三種方法來確定數字的 HCF。

• 質因數分解

• 除法方法

• 列出因數

在本教程中，我們將重點關注質因數分解和除法方法來評估整數的 HCF。

質因數分解

質因數分解是一種用質數的乘積來表示大數的方法。換句話說，用質數（即 2、3、5、7、11 等）表示數字的分解稱為質因數分解。假設 260 是一個合數。260 的質因數分解可以表示為

$$\mathrm{260\:=\:2\times\:2\times\:5\times\:13}$$

此外，質因數分解還有兩種方法。

因數樹方法

我們必須按照以下步驟來查詢數字的質因數分解。

• 將給定的數字寫在樹的頂部

• 將一對因數寫成樹的分支。

• 再次，分解上面步驟中獲得的因數。

• 重複上述步驟，直到我們得到不能進一步分解的質因數。

除法方法

我們必須按照以下步驟來查詢數字的質因數分解。

• 用最小的質數除以給定的數字，使餘數為零

• 用最小的質數除以商。

• 重複上述步驟，直到商變為 1。

• 獲得的除數是該數字所需的質因數

重複除法或歐幾里得除法引理

歐幾里得除法引理（引理意為定理）指出，存在一個非零整數，使得如果用該整數除以該數，則得到一個商和一個餘數（非零）。

讓我們考慮數字“m”和整數“l”。歐幾里得除法引理可以用數學方式表示為

$$\mathrm{m\:=\:lr\:+\:s\:,\:where\:0\:\leq\:s\:\leq\:1}$$

這裡“l”是商，“s”是餘數。此外，“m”和“r”分別稱為被除數和除數。

因此，表示歐幾里得除法引理的另一種方式是

$$\mathrm{被除數\:=\:(除數\:\times\:商)\:+\:餘數}$$

現在，我們將看到歐幾里得除法引理的證明。

歐幾里得除法引理的證明 -

根據此定理，

$$\mathrm{m\:=\:lr\:+\:s\:,\:where\:0\:\leq\:s\:\leq\:1}$$

讓我們考慮 m = 5 和 l = 1

因此，$\mathrm{5\:=\:1\times\:5\:\div\:0}$

這裡，$\mathrm{r\:=\:5\:and\:s\:=\:0}$

我們可以看到 $\mathrm{0\leq\:0\leq\:1\:(0\leq\:s\leq\:1)}$

現在，考慮 m = 5 和 l = 2

因此，$\mathrm{5\:=\:2\times\:2\:\div\:1}$

這裡，r = 2 和 s =1

我們可以看到 $\mathrm{0\leq\:1\leq\:2\:(0\leq\:s\leq\:1)}$

現在，考慮 m = 5 和 l = 3

因此，$\mathrm{5\:=\:3\times\:1\div\:2}$

這裡，r = 1 和 s = 2

我們可以看到 $\mathrm{0\leq\:2\leq\:3\:(0\leq\:s\leq\:1)}$

可以清楚地觀察到，存在一個非零整數，使得如果用該整數除以該數，則得到一個商和一個餘數（非零）。

如何使用重複除法或歐幾里得除法引理查詢 HCF

歐幾里得除法引理的主要應用是確定整數的 HCF。讓我們討論使用歐幾里得除法引理評估 HCF 的過程。

• 假設我們必須找到兩個數字 m 和 l 的 HCF $\mathrm{(m\:>\:1)}$。使用歐幾里得除法引理，

$$\mathrm{m\:=\:lr\:+\:s\:,\:where\:0\leq\:s\leq\:1}$$

• 如果 $\mathrm{s\:=\:0}$，則 r 是 m 和 l 的因數。如果 $\mathrm{s\:\neq\:0}$，則對 l 和 s 使用歐幾里得除法引理。

• 我們需要繼續此過程，直到餘數為零。獲得的除數是所需的 HCF。

解題示例

1) 使用歐幾里得除法引理查詢以下數字的 HCF：20 和 50。

答案 - 由於 50 > 20，因此 c = 50 且 d = 20。

現在，使用歐幾里得除法引理

$$\mathrm{50\:=\:20\:\times\:2\:\div\:10}$$

$$\mathrm{20\:=\:10\div\:2\:\div\:0}$$

∴ 20 和 50 的 HCF 為 10。

2) 將數字 3780 表示為質數的乘積。

答案 - 因此，3780 的質因數分解可以表示為

$$\mathrm{3780\:=\:2\times\:2\times\:3\times\:3\times\:3\times\:5\times\:7}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:3780\:=\:2^{2}\:\times\:3^{3}\times\:5\times\:7}$$

3) 查詢 108 的因數。

答案 - 108 可以分解如下。

$$\mathrm{1\times\:108\:=\:108}$$

$$\mathrm{108\times\:1\:=\:108}$$

$$\mathrm{2\times\:54\:=\:108}$$

$$\mathrm{3\times\:36\:=\:108}$$

$$\mathrm{4\times\:27\:=\:108}$$

$$\mathrm{6\times\:18\:=\:108}$$

$$\mathrm{9\times\:12\:=\:108}$$

因此，108 的因數是 1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54 和 108。

結論

本教程簡要介紹了用於確定 HCF 的質因數分解和除法方法。本教程解釋了基本定義和評估質因數分解的各種方法。此外，還解釋了重複除法或歐幾里得除法定理及其證明。此外，還提供了一些解題示例，以更好地闡明此概念。總之，本教程可能有助於理解 HCF 的質因數分解和除法方法的基本概念。

常見問題解答

1. 質因數分解方法的主要侷限性是什麼？

如果給定的合數很大，則質因數分解方法非常耗時且冗長。

2. 質因數分解的應用是什麼？

質因數分解用於設計密碼學。此外，它還用於評估 HCF（最大公因數）和 LCM（最小公倍數）。

3. 歐幾里得除法引理的優點是什麼？

質因數分解是一種耗時的方法。但是，對於大數，可以使用歐幾里得除法引理來分解該數。

4. 兩個質數的 HCF 是多少？

由於每個質數只能被 1 和它本身整除，因此兩個質數的 HCF 為 1。

5. 我們可以使用歐幾里得除法引理確定兩個負數的 HCF 嗎？

是的。我們可以使用歐幾里得除法方法評估兩個負數的 HCF。