當一個物體放置在凹面鏡前 20 cm 處時，形成了一個放大三倍的實像。求：(a) 鏡子的焦距。(b) 物體必須放置在什麼位置才能得到一個高度是物體三倍的虛像？

(a) 已知

物體到鏡面的距離，$u$ = $-$20 cm

放大倍數，$m$ = $-$3 cm

求解： 鏡子的焦距 $(f)$。

解答

根據放大倍數公式，我們知道：

$m=-\frac{v}{u}$

將已知值代入放大倍數公式，得到：

$-3=-\frac{v}{(-20)}$

$-3=\frac{v}{20}$

$v=-60cm$

因此，像的距離 $v$ 為 60 cm，負號表示像在鏡面前方（左側）。

現在，根據鏡面公式，我們知道：

$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$

將已知值代入鏡面公式，得到：

$\frac{1}{f}=\frac{1}{(-60)}+\frac{1}{(-20)}$

$\frac{1}{f}=-\frac{1}{60}-\frac{1}{20}$

$\frac{1}{f}=\frac{-1-3}{60}$

$\frac{1}{f}=-\frac{4}{60}$

$\frac{1}{f}=-\frac{1}{15}$

$f=-60cm$

因此，焦距 $f$ 為 60 cm，負號表示焦距在鏡面前方（左側）。

(b) 如果像是虛像且放大倍數為 3

已知

鏡子的焦距，$f$ = $-$15 cm

放大倍數，$m$ = 3 cm

物體到鏡面的距離，$u$ = $-$20 cm

求解： 物體到鏡面的距離 $(u)$。

解答

根據放大倍數公式，我們知道：

$m=-\frac{v}{u}$

將已知值代入放大倍數公式，得到：

$3=-\frac{v}{u}$

$v=-3u$

因此，像的距離 $v$ 為 3u，負號表示像在鏡面前方（左側）。

現在，根據鏡面公式，我們知道：

$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$

將已知值代入鏡面公式，得到：

$\frac{1}{(-15)}=\frac{1}{(-3u)}+\frac{1}{u}$

$\frac{1}{-15}=-\frac{1}{3u}+\frac{1}{u}$

$\frac{1}{-15}=\frac{-1+3}{3u}$

$\frac{1}{-15}=\frac{2}{3u}$

$3u=2\times {(-15)}$

$u=\frac{-30}{3}$

$u=-10cm$

因此，物體應放置在距離鏡面 10 cm 處才能得到一個高度是物體三倍的虛像。

物體前的負號表示物體放置在鏡面前方（左側）。