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法律研究一個圓的兩個弦$AB$和$CD$的長度分別為$5\ cm$和$11\ cm$，它們互相平行且位於圓心的異側。如果$AB$和$CD$之間的距離為$6\ cm$，求圓的半徑。
已知
圓的兩個弦$AB$和$CD$的長度分別為$5\ cm$和$11\ cm$，它們互相平行且位於圓心的異側。
$AB$和$CD$之間的距離為$6\ cm$。
要求
我們需要求出圓的半徑。
解答
設圓的半徑為$r$，圓心為$O$。
兩個平行弦$AB = 5\ cm, CD = 11\ cm$
設$OL \perp AB$和$OM \perp CD$
$LM = 6\ cm$
設$OM = x$
這意味著，
$OL = 6 - x$
在直角三角形$\mathrm{OAL}$中，
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OL}^{2}+\mathrm{AL}^{2}$
$r^{2}=(6-x)^{2}+(\frac{5}{2})^{2}$
$=36-12 x+x^{2}+\frac{25}{4}$............(i)
類似地，
在直角$\Delta \mathrm{OCM}$中，
$r^{2}=x^{2}+(\frac{11}{2})^{2}$
$=x^{2}+\frac{121}{4}$..............(ii)
由(i)和(ii)，我們得到，
$x^{2}+\frac{121}{4}=36-12 x+x^{2}+\frac{25}{4}$
$\Rightarrow \frac{121}{4}-\frac{25}{4}-36=-12 x$
$\Rightarrow \frac{96}{4}-\frac{36}{1}=-12 x$
$\Rightarrow 12 x=36-24=12$
$x=\frac{12}{12}=1$
$\Rightarrow r^{2}=\mathrm{CM}^{2}+\mathrm{OM}^{2}$
$=(\frac{11}{2})^{2}+(1)^{2}$
$=\frac{121}{4}+1$
$=\frac{125}{4} \mathrm{~cm}$
$\Rightarrow r=\sqrt{\frac{125}{4}}$
$=\frac{\sqrt{125}}{2}$
$=\frac{\sqrt{25 \times 5}}{2}$
$=\frac{5}{2} \sqrt{5} \mathrm{~cm}$
圓的半徑是$\frac{5}{2} \sqrt{5} \mathrm{~cm}$。
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