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法律研究如圖4所示，三角形ABC外接一個半徑為3釐米的圓，線段BD和DC的長度分別為6釐米和9釐米。如果三角形ABC的面積為54平方釐米，則求邊AB和AC的長度。
已知：三角形ABC外接一個半徑為3釐米的圓，線段BD和DC的長度分別為6釐米和9釐米。三角形ABC的面積為54平方釐米。
求解：求邊AB和AC的長度。
解
設圓與三角形AB和AC的切點分別為F和E。
設線段AF的長度為x。
現在，可以觀察到
BF = BD = 6釐米 (B點引出的切線)
CE = CD = 9釐米 (C點引出的切線)
AE = AF = x (A點引出的切線)
AB = AF + FB = x + 6
BC = BD + DC = 6 + 9 = 15
CA = CE + EA = 9 + x
2s = AB + BC + CA = x + 6 + 15 + 9 + x = 30 + 2x = 2(15 + x)
s = 15 + x
s – a = 15 + x – 15 = x
s – b = 15 + x – (x + 9) = 6
s – c = 15 + x – (6 + x) = 9
三角形ABC的面積為：
√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
=> 54 = √[(15 + x) * x * 6 * 9]
=> 54 = 3√[6(x² + 15x)]
=> √[6(x² + 15x)] = 54/3 = 18
=> 6(x² + 15x) = 324
=> x² + 15x = 54
=> x² + 15x - 54 = 0
=> x² + 18x - 3x - 54 = 0
=> x(x + 18) - 3(x + 18) = 0
=> (x - 3)(x + 18) = 0
如果 x - 3 = 0
=> x = 3
如果 x + 18 = 0
=> x = -18
因為長度不能為負數，所以我們捨去x = -18。
∴ x = 3
∴ AB = x + 6 = 3 + 6 = 9釐米
且 AC = x + 9 = 3 + 9 = 12釐米
因此，邊AB的長度為9釐米，邊AC的長度為12釐米。
更新於：2022年10月10日
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