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法學三個數成等差數列，其和為12，其立方和為288。求這三個數。
已知
三個數成等差數列。
這三個數的和為12，其立方和為288。
要求
我們必須找到這三個數。
解答
設等差數列的前三項為 $a−d,\ a,\ a+d$。
根據題意，
$a−d+a+a+d=12\ ......( i)$
$( a−d)^3+(a)^3+( a+d)^3=288\ .....(ii)$
從$(i)$式，我們得到
$3a=12$
$\Rightarrow a=\frac{12}{3}=4$
從$(ii)$式，我們得到
$a^3-d^3-3ad(a-d)+a^3+a^3+d^3+3ad(a+d)=288$
$3a^3-3a^2d+3ad^2+3a^2d+3ad^2=288$
$3a^3+6ad^2=288$.....(iii)
將$a=4$代入$(iii)$式，我們得到：
$3(4^3+2(4)d^2)=3\times96$
$\Rightarrow 64+8d^2=96$
$\Rightarrow 8d^2=96-64$
$\Rightarrow 8d^2=32$
$\Rightarrow d^2=4$
$\Rightarrow d=\pm 2$
這意味著：
如果$a=4, d=2$，那麼
$a-d=4-2=2, a=4, a+d=4+2=6, a+2d=4+2(2)=4+4=8$
所求等差數列為 $2, 4, 6, 8,......$
如果$a=4, d=-2$，那麼
$a-d=4-(-2)=4+2=6, a=4, a+d=4+(-2)=2, a+2d=4+2(-2)=4-4=0$
所求等差數列為 $6, 4, 2, 0,......$
這三個數是2, 4和6，或者6, 4和2。
更新於：2022年10月10日
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