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法律研究一座塔矗立在水平地面上，當太陽高度角為 \( 30^{\circ} \) 時，發現塔影的長度比太陽高度角為 \( 45^{\circ} \) 時長 \( 2 x \) 米。證明塔的高度為 \( x(\sqrt{3}+1) \) 米。
已知
一座塔矗立在水平地面上，當太陽高度角為 \( 30^{\circ} \) 時，發現塔影的長度比太陽高度角為 \( 45^{\circ} \) 時長 \( 2 x \) 米。
要求
我們必須證明塔的高度為 \( x(\sqrt{3}+1) \) 米。
解答：
設 $AB$ 為塔的高度，$CA$ 為當太陽高度角為 \( 30^{\circ} \) 時的塔影，$DA$ 為當太陽高度角為 \( 45^{\circ} \) 時的塔影。
從圖中可知，
$\mathrm{CD}=2x \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$
設塔的高度為 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，當太陽高度角為 \( 45^{\circ} \) 時的塔影長度為 $\mathrm{DA}=y \mathrm{~m}$。
這意味著，
$\mathrm{CA}=2x+y \mathrm{~m}$
我們知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{y}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{y}$
$\Rightarrow h=y \mathrm{~m}$.........(i)
類似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 對邊 }}{\text { 鄰邊 }}$
$=\frac{\text { AB }}{CA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{2x+y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{2x+y}$
$\Rightarrow 2x+y=h \sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 2x+h=h\sqrt3 \mathrm{~m}$ [根據 (i)]
$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=2x \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x}{\sqrt3-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{3-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{2} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=x(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
證畢。
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