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法律研究兩圓的圓心分別為 \( O \) 和 \( O^{\prime} \)，兩圓的公切線 \( A B \) 和 \( C D \) 相交於 \( E \)，且 \( E \) 在兩圓心之間。證明點 \( O, E \) 和 \( O^{\prime} \) 共線。
已知
兩圓的圓心分別為 \( O \) 和 \( O^{\prime} \)，兩圓的公切線 \( A B \) 和 \( C D \) 相交於 \( E \)，且 \( E \) 在兩圓心之間。
要求
我們必須證明點 \( O, E \) 和 \( O^{\prime} \) 共線。
解答
連線 $OA$ 和 $OC$。
在 $\triangle OAE$ 和 $\triangle OCE$ 中，
$OA=OC$ (同圓半徑)
$OE=OE$ (公共邊)
$\angle OAE=\angle OCE=90^{\circ}$
$\Rightarrow \triangle OAE \cong \triangle OCE$ (根據 RHS 全等)
$\Rightarrow \angle AEO=\angle CEO$ (全等三角形對應角相等)
類似地，
$\angle BEO^{\prime}=\angle DEO^{\prime}$
$\angle AEC=\angle DEB$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle AEC=\frac{1}{2} \angle DEB$
$\Rightarrow \angle AEO=\angle CEO=\angle BEO^{\prime}=\angle DEO^{\prime}$
由於這些角相等，並且被 $OE$ 和 $O^{\prime}E$ 平分，所以 $O, E$ 和 $O^{\prime}$ 共線。
更新於: 2022年10月10日
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