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法律研究兩個圓心分別為 \( O \) 和 \( O^{\prime} \) 的等圓在 \( X \) 點相切。\( O O^{\prime} \) 延長線與圓心為 \( O^{\prime} \) 的圓相交於 \( A \) 點。\( A C \) 是圓心為 O 的圓的切線。\( O^{\prime} D \) 垂直於 \( A C \)。求 \( \frac{D O^{\prime}}{C O} \) 的值。
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已知
兩個圓心分別為 \( O \) 和 \( O^{\prime} \) 的等圓在 \( X \) 點相切。\( O O^{\prime} \) 延長線與圓心為 \( O^{\prime} \) 的圓相交於 \( A \) 點。\( A C \) 是圓心為 O 的圓的切線。\( O^{\prime} D \) 垂直於 \( A C \)。
要求：
我們需要求出 \( \frac{D O^{\prime}}{C O} \) 的值。
解答
$AC$ 是圓心為 $O$ 的圓的切線。
作 $O^{\prime}D\ perp\ AC$，連線 $OC$。
$AC$ 是切線，$OC$ 是半徑。
$OC\ \perp\ AC$
$O^{\prime}D\ \perp\ AC$
$OC\ \parallel\ O^{\prime}D$
$OA=O^{\prime}A+O^{\prime}X+OX$
$OA=3AO^{\prime}$ ($O^{\prime}A=O^{\prime}X=OX$
在三角形 $O^{\prime}AD$ 和 $OAC$ 中，
$\angle A = \angle A$ (公共角)
$\angle AO^{\prime}D =\angle AOC$ (同位角)
因此，
$\Delta \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{AD} \sim \Delta \mathrm{OAC}$ (根據 AA 公理) $\frac{\mathrm{DO}^{\prime}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{AO}^{\prime}}{\mathrm{AO}}$
$=\frac{\frac{1}{3} \mathrm{AO}}{\mathrm{AO}}$
$=\frac{1}{3}$
\( \frac{D O^{\prime}}{C O} \) 的值為 $\frac{1}{3}$。
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