$O$是兩條相等弦$AB$和$CD$的交點，且$OB=OD$，則證明$\vartriangle OAC$和$\vartriangle ODB$相似。"\n

已知：在圖中，$O$是兩條相等弦$AB$和$CD$的交點，且$OB = OD$。

求證：證明$\vartriangle OAC$和$\vartriangle ODB$相似。

解： 

已知當圓內兩條弦相交時，它們的線段乘積總是相等的。

$\Rightarrow  AO.OB=CO.OD$

$\Rightarrow  AO=CO$    ( \because OB=OD)$

在$\vartriangle AOC$中，

$\angle ACO+\angle AOC+\angle CAO=180^o$

$\Rightarrow 2\angle ACO+45^o=180^o \Rightarrow  \angle ACO=67.5^o$       $(\because\ AO=OC)$

在$\vartriangle BOD$中，

$\angle BOD=\angle COA=45^o$    $( 對頂角)$

$\angle BDO+\angle BOD+\angle DOB=180^o$

$\Rightarrow 2\angle BDO+45^o=180^o \Rightarrow  \angle BDO=67.5^o$

在$\vartriangle AOC$和$\vartriangle BOD$中

$\angle ACO=\angle BDO$      $( 已證)$

$\angle BOD=\angle COA$      $( 對頂角)$

因此，根據$AA$相似性， 

$\vartriangle AOC\sim \vartriangle BOD$

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更新於: 2022年10月10日

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