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法律研究設$O$是$\triangle ABC$內部任意一點。
$AB + BC + CA > OA + OB + OC$
已知
$O$是$\triangle ABC$內部任意一點。
要求
我們必須證明$AB + BC + CA > OA + OB + OC$。
解答
延長$BO$交$AC$於$D$。
從圖中，
$AB + AD > BD$ (三角形兩邊之和大於第三邊)
$AB + AD > BO + OD$.......…(i)
類似地，
在$\triangle ODC$中，
$OD + DC > OC$.......…(ii)
將方程(i)和(ii)相加，得到：
$AB + AD + OD + DC > OB + OD + OC$
$AB + AD + DC > OB + OC$
$AB + AC > OB + OC$.......(iii)
類似地，
$BC + AB > OA + OC$.........(iv)
$CA + BC > OA + OB$...........(v)
將方程(iii)、(iv)和(v)相加，得到：
$2(AB+BC+CA)>2(OA+OB+OC)$
$AB+BC+CA>OA+OB+OC$
證畢。
更新於: 2022年10月10日
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