如果$AD$和$PM$分別是$\vartriangle ABC$和$\vartriangle PQR$的中線，其中$\vartriangle ABC\sim \vartriangle PQR$。證明$\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$。
已知：$AD$和$PM$分別是$\vartriangle ABC$和$\vartriangle PQR$的中線，其中$\vartriangle ABC\sim \vartriangle PQR$。
要求：證明$\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}$。
解答
已知$\vartriangle ABC \sim \vartriangle PQR$
我們知道相似三角形的對應邊成比例。
$\therefore \frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}=\frac{BC}{QR}\ ...\ ( i)$
此外，$\angle A = \angle P,\ \angle B = \angle Q,\ \angle C = \angle R\ ...\ ( ii)$
$\because AD$和$PM$是中線，所以它們分別平分它們的對邊$BC$和$QR$。
$\therefore BD=\frac{BC}{2}$和$QM=\frac{QR}{2}\ ...\ ( iii)$
由式$( i)$和$( iii)$，我們得到
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}\ ...\ ( iv)$
在$\vartriangle ABD$和$\vartriangle PQM$中，
$\angle B = \angle Q$ [由式$( ii)$]
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}$ [由式$( iv)$]
$\therefore \vartriangle ABD \sim \vartriangle PQM$ [根據SAS相似準則)]
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BD}{QM}=\frac{AD}{PM}$
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