已知三角形ABC中，邊AB、BC和中線AD分別與三角形PQR的邊PQ、QR和中線PM成比例（如圖所示）。求證：三角形ABC與三角形PQR相似。

已知

三角形ABC中，邊AB、BC和中線AD分別與三角形PQR的邊PQ、QR和中線PM成比例。

要求

我們必須證明三角形ABC與三角形PQR相似。

解答

在三角形ABC和三角形PQR中：

$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}$

$\frac{AB}{PQ} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}QR} = \frac{AD}{PM}$

$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$

因此，根據SSS相似性準則：

三角形ABD與三角形PQM相似

這意味著：

∠B = ∠Q (對應角相等)

在三角形ABC和三角形PQR中：

∠B = ∠Q

$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$

因此，根據SAS相似性準則：

三角形ABC與三角形PQR相似

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更新於：2022年10月10日

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