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法律研究已知圓的弦 \( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 相互平分。證明：（i）\( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 是直徑；（ii）\( \mathrm{ABCD} \) 是矩形。
已知
\( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 是圓的弦，它們互相平分。
要求
我們必須證明：
(i) \( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 是直徑
(ii) \( \mathrm{ABCD} \) 是矩形。
解答
(i) 設 $AC$ 和 $BD$ 是一個圓的兩條弦，它們在 $P$ 點互相平分。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 中，
$OA = OC$ ($O$ 是 $AC$ 的中點)
$\angle AOB = \angle COD$ (對頂角)
$OB = OD$ ($O$ 是 $BD$ 的中點)
因此，根據 SAS 全等，
$\triangle CPD \cong \triangle APB$
這意味著，
$\overparen{C D}=\overparen{A B}$.........(i) (全等三角形對應邊相等)
類似地，
在 $\triangle APD$ 和 $\triangle CPB$ 中，我們得到，
$\overparen{C B}=\overparen{A D}$.........(ii) (全等三角形對應邊相等)
將 (i) 和 (ii) 相加，我們得到，
$\overparen{C D}+\overparen{C B}=\overparen{A B}+\overparen{A D}$
$\overparen{B C D}=\overparen{B A D}$
因此，
$BD$ 將圓分成兩等份。
這意味著，
$BD$ 是直徑。
類似地，
$AC$ 是直徑。
(ii) $AC$ 和 $BD$ 互相平分。
這意味著，
$ABCD$ 是平行四邊形，並且
$AC = BD$
因此，
$ABCD$ 是矩形。
證畢。
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