在等邊三角形ABC中，D是BC邊上一點，使得BD=BC/3。證明：9AD²=7AB²。

已知：等邊三角形ABC，D是BC邊上一點，使得BD=BC/3。

求證：9AD²=7AB²。

解答：

作AE⊥BC。

等邊三角形的三條邊相等，

∴ AB=BC=CA

設AB=BC=CA=x

已知

BD=BC/3

⇒ BD=x/3

在△AEB和△AEC中，

AE=AE [公共邊]

AB=AC [都是x，因為是等邊三角形]

∠AEB=∠AEC [都是90°，因為AE⊥BC]

因此，根據RHS全等，

△AEB ≅ △AEC

∴ BE=EC [全等三角形對應邊相等]

所以，BE=EC=x/2

因為 BE=x/2

∴ BD+DE=x/2

⇒ x/3+DE=x/2

⇒ DE=x/2-x/3

⇒ DE=x/6

利用勾股定理，

(斜邊)²=(高)²+(底)²

在△AEB中，

(AB)²=(AE)²+(BE)²

x²=(AE)²+(x/2)²

⇒ (AE)²=x²-x²/4

⇒ (AE)²=(4x²-x²)/4

⇒ (AE)²=3x²/4 ......(1)

同樣，在△AED中

(AD)²=(AE)²+(DE)²

⇒ (AD)²=3x²/4+(x/6)² 根據(1)

⇒ (AD)²=3x²/4+x²/36

⇒ (AD)²=(27x²+x²)/36

⇒ (AD)²=28x²/36

⇒ (AD)²=7x²/9

⇒ 9(AD)²=7x²/9 * 9 [兩邊乘以9]

⇒ 9(AD)²=7x²

⇒ 9(AD)²=7(AB)²

證畢。

Tutorialspoint

更新於：2022年10月10日

43 次瀏覽

開啟你的職業生涯

完成課程獲得認證

開始學習