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法學在等邊三角形ABC中，D是BC邊上的一點，使得$BD = \frac{1}{3}BC$。證明$9AD^2 = 7AB^2$。
已知：
等邊三角形$\vartriangle ABC$，D是BC邊上一點，滿足$BD=\frac{1}{3}BC$。
求證：
我們需要證明$9AD^{2}=7AB^{2}$。
解：
作$AE\perp BC$。
等邊三角形的三條邊相等，
$\therefore AB=BC=CA$
設$AB=BC=CA=x$
由題意可知
$BD=\frac{1}{3}BC$
$\Rightarrow BD=\frac{x}{3}$
在$\vartriangle AEB$和$\vartriangle AEC$中，
$AE=AE$ [公共邊]
$AB=AC=x$ [等邊三角形]
$\angle AEB=\angle AEC=90^o$ [$AE\perp BC$]
因此，根據RHS全等定理，
$\vartriangle AEB \cong \vartriangle AEC$
這意味著，
$BE=EC$ [全等三角形對應邊相等]
$BE=EC=\frac{x}{2}$
$\Rightarrow BD+DE=\frac{x}{2}$
$\Rightarrow \frac{x}{3}+DE=\frac{x}{2}$
$\Rightarrow DE=\frac{x}{2}-\frac{x}{3}$
$\Rightarrow DE=\frac{x}{6}$
根據勾股定理，
$(斜邊)^{2}=(高)^{2}+(底)^{2}$
在$\vartriangle AEB$中，
$(AB)^{2}=(AE)^{2}+(BE)^{2}$
$x^{2}=(AE)^{2}+( \frac{x}{2})^{2}$
$\Rightarrow (AE)^{2}=x^{2}-\frac{x^{2}}{4}$
$\Rightarrow (AE)^{2}=\frac{4x^{2}-x^{2}}{4}$
$\Rightarrow ( AE)^2=\frac{3x^{2}}{4}$.........(i)
類似地，在$\vartriangle AED$中
$(AD)^{2}=(AE)^{2}+(DE)^{2}$
$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{3x^{2}}{4}+( \frac{x}{6})^{2}$ [由(i)式]
$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{36}$
$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{27x^{2}+x^{2}}{36}$
$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{28x^{2}}{36}$
$\Rightarrow (AD)^{2}=\frac{7x^{2}}{9}$
$\Rightarrow 9(AD)^{2}=\frac{7x^{2}}{9}\times 9$ [兩邊乘以9]
$\Rightarrow 9(AD)^{2}=7x^{2}$
$\Rightarrow 9(AD)^{2}=7(AB)^{2}$
證畢。
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