如果$\triangle ABC$的邊$AB$上有一點$D$，使得$AD : DB = 3:2$，且$E$是$BC$上的一點，使得$DE\parallel AC$。求$\triangle ABC$和$\triangle BDE$面積的比值。

已知

$D$是$\triangle ABC$的邊$AB$上的一點，使得$AD : DB = 3:2$，且$E$是$BC$上的一點，使得$DE\parallel AC$。

要求

我們要求$\triangle ABC$和$\triangle BDE$面積的比值。

解答

$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$

設$AD$為$3x$，$DB$為$2x$。這意味著，

$AB=AD+DB=3x+2x=5x$

在$\triangle BDE$和$\triangle BAC$中，

$\angle DBE=\angle ABC$   (公共角)

$\angle BDE=\angle BAC$   (同位角)

因此，

$\triangle BDE \sim\ \triangle BAC$   (根據角角相似)

我們知道，

如果兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積之比等於它們對應邊長之比的平方。

因此，

$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle BDE)}=\frac{(AB)^2}{(DB)^2}$

$=\frac{(5x)^2}{(2x)^2}$

$=\frac{25x^2}{4x^2}$

$=\frac{25}{4}$

$\triangle ABC$和$\triangle BDE$面積的比值為$25:4$。

教程點

更新於: 2022年10月10日

69 次瀏覽

開啟您的職業生涯

透過完成課程獲得認證

開始學習