當 $\alpha$ 為何值時，方程組 
$\alpha x+3y=\alpha -3$
$12x+\alpha y=\alpha$
無解？

已知：

給定的方程組為

$\alpha x+3y=\alpha -3$

$12x+\alpha y=\alpha$

要求：

我們要求出 $\alpha$ 的值，使得給定的方程組無解。

解答

給定的方程組為：

$\alpha x+3y-(\alpha -3)=0$

$12x+\alpha y-\alpha=0$

二元一次方程組的標準形式為 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

上述方程組無解的條件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} ≠ \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

將給定的方程組與標準形式的方程進行比較，我們有：

$a_1=\alpha, b_1=3, c_1=-(\alpha-3)$ 以及 $a_2=12, b_2=\alpha, c_2=-\alpha$

因此，

$\frac{\alpha}{12}=\frac{3}{\alpha}≠\frac{-(\alpha-3)}{-\alpha}$

$\frac{\alpha}{12}=\frac{3}{\alpha}≠\frac{\alpha-3}{\alpha}$

$\frac{\alpha}{12}=\frac{3}{\alpha}$ 且 $\frac{3}{\alpha}≠\frac{\alpha-3}{\alpha}$

$\alpha \times \alpha=12\times3$ 且 $3≠\alpha-3$

$(\alpha)^2=36$ 且 $\alpha≠3+3$

$\alpha=\sqrt{36}$ 且 $\alpha≠6$

$\alpha=6$ 或 $\alpha=-6$ 且 $\alpha≠6$

這意味著，

$\alpha=-6$

使得給定的方程組無解的 $\alpha$ 的值為 $-6$。  

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更新於： 2022年10月10日

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