已知$\alpha+\beta=-2$且$\alpha^3+\beta^3=-56$，求以$\alpha$和$\beta$為根的二次方程。

已知：$\alpha+\beta=-2$且$\alpha^3+\beta^3=-56$。

求解：求以$\alpha$和$\beta$為根的二次方程。

解

已知$\alpha+\beta=-2$且$\alpha^3+\beta^3=-56$

$\Rightarrow (\alpha +\beta )(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta )=-56$

$\Rightarrow \alpha^2+\beta^2-\alpha \beta=28$

現在，$( \alpha+\beta)^2=( -2)^2$

$\Rightarrow \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta=4$

$\Rightarrow 28+3\alpha\beta=4$

$\Rightarrow \alpha\beta=-8$

$\therefore$ 所求方程為$x^2-(-2)x+(-8)=0$

$\Rightarrow x^2+2x-8=0$

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更新於：2022年10月10日

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