已知$x + 1$和$x + 2$是$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$的因式，求$\alpha$和$\beta$的值。

已知

已知表示式為$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$。

$x + 1$和$x + 2$是$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$的因式。

解題步驟

我們需要求出$\alpha$和$\beta$的值。

解答

我們知道：

如果$(x-m)$是$f(x)$的根，則$f(m)=0$。

$x+1$和$x+2$是$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$的因式。

因此：

$f(-1)=0$

$\Rightarrow (-1)^3 + 3(-1)^2 - 2\alpha(-1) + \beta=0$

$\Rightarrow -1+3+2\alpha+\beta=0$

$\Rightarrow \beta=-2\alpha-2$........(i)

$f(-2)=0$

$\Rightarrow (-2)^3 + 3(-2)^2 - 2\alpha(-2) + \beta=0$

$\Rightarrow 4\alpha + \beta-8+12=0$

$\Rightarrow 4\alpha + (-2\alpha-2) -8+12=0$            [由(i)式]

$\Rightarrow 2\alpha+2=0$

$\Rightarrow 2\alpha=-2$

$\Rightarrow \alpha=-1$

$\Rightarrow \beta=-2(-1)-2$

$\Rightarrow \beta=0$

$\alpha$和$\beta$的值分別為$-1$和$0$。       

教程點

更新於：2022年10月10日

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