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法律研究如果$\alpha,\ \beta$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，則求方程$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$的根。
已知：$\alpha,\ \beta$是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
求解：求方程$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$的根。
解
如題所述，$\alpha$和$\beta$是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
$\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ 和 $\alpha\beta=\frac{c}{a}$
現在，方程為$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$。
設$p$和$q$是方程的根。
$\Rightarrow ax^2+bx^2+bx+cx^2+2cx+c=0$
$\Rightarrow ( a+b+c)x^2+( b+2c)x+c=0$
$\Rightarrow$ 根的和 $p+q=-\frac{b+2c}{a+b+c}$
$\Rightarrow p+q=-\frac{\frac{b}{a}+\frac{2c}{a}}{\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow p+q=-\frac{-( \alpha+\beta)+2\alpha\beta}{1-( \alpha+\beta)+\alpha\beta}$
$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha+\beta-2\alpha\beta}{1-( \alpha+\beta)+\alpha\beta}$
$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha-\alpha\beta+\beta-\alpha\beta}{1-\alpha-\beta+\alpha\beta}$
$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha( 1-\beta)+\beta( 1-\alpha)}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}$
$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha( 1-\beta)}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}+\frac{\beta( 1-\alpha)}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}$
$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha}{1-\alpha}+\frac{\beta}{1-\beta}\ .........\ ( i)$
以及根的積 $pq=\frac{c}{a+b+c}$
$\Rightarrow pq=\frac{\frac{c}{a}}{\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow pq=\frac{\alpha\beta}{1-( \alpha+\beta)+\alpha\beta}$
$\Rightarrow pq=\frac{\alpha\beta}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}$
$\Rightarrow pq=\frac{\alpha}{1-\alpha}.\frac{\beta}{1-\beta}\ .......\ ( ii)$
從$( i)$和$( ii)$
$p=\frac{\alpha}{1-\alpha}$ 和 $q=\frac{\beta}{1-\beta}$
因此，方程$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$的根為$p=\frac{\alpha}{1-\alpha}$ 和 $q=\frac{\beta}{1-\beta}$。
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