如果 $a, b, c$ 是實數且 $ac≠0$，則證明方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一個方程有實根。
已知
已知二次方程為 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$，其中 $a, b, c$ 是實數且 $ac≠0$。
要求
我們需要證明方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一個方程有實根。
解答
令 $D_1$ 為 $ax^2+bx+c=0$ 的判別式，$D_2$ 為 $-ax^2+bx+c=0$ 的判別式。
二次方程標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判別式為 $D=b^2-4ac$。
因此，
$D_1=(b)^2-4(a)(c)$
$D_1=b^2-4ac$
$D_2=(b)^2-4(-a)(c)$
$D_2=b^2+4ac$
$D_1+D_2=b^2-4ac+b^2+4ac$
$D_1+D_2=2b^2$
$D_1+D_2≥0$ (因為 $b$ 是實數)
這意味著，$D_1$ 和 $D_2$ 中至少有一個大於或等於零。
因此，方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一個方程有實根。
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