求多項式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互為倒數的條件。

已知：多項式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互為倒數。

要求：求多項式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互為倒數的條件。

解答

已知多項式：$p( x)=ax^2+bx+c$ 

設 $\alpha$ 和 $\frac{1}{\alpha}$ 是該多項式的根。

因此，根的和$=\alpha+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{a}$

根的積$=\alpha.\frac{1}{\alpha}=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow 1=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow c=a$

因此，當 $c=a$ 時，多項式 $p( x)=ax^2+bx+c$ 的根互為倒數。

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更新於： 2022年10月10日

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